Distanza dal centro della siperficie al piano.

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Trovare la distanza da un punto a un piano è un compito comune che si presenta quando si risolvono vari problemi gjeometria analitike, ad esempio, questo problema può essere ridotto a trovare la distanza tra due rette che si intersecano o tra una retta e un piano ad essa paralelo.

Konsideroni për piano $β$ dhe nuk punoni me $M_0$ në koordinatat $(x_0;y_0; z_0)$ për një piano $β$.

Përkufizimi 1

La distanza più breve tra un punto e un piano sarà la perpendicolare tracciata dal punto $M_0$ al piano $β$.

Figura 1. Distanza da un punto a un piano.

Author24 - scambio online nga lavori degli studenti

Di seguito discuteremo come trovare la distanza da un punto a un piano utilizzando il metodo delle koordinate.

Derivazione della formula per il metodo delle koordinate per trovare la distanza da un punto a un piano nello spazio

La perpendicolare che dal punto $M_0$ interseca il piano $β$ nel punto $M_1$ di koordinon $(x_1;y_1; z_1)$ giace su una retta il cui vettore direzione è il vetore normale del piano $β$.

Në questo caso la lunghezza del vettore unitario $n$ è uguale a uno. Di conseguenza, la distanza da $β$ al punto $M_0$ sarà:$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\majtas(1\djathtas)$, pëllumb $\vec(M_1M_0)$ и il vettore normale del piano $β$ e $\vec( n) $ è il vettore normale unitario del piano considerato. Nel caso në cui venga fornita l'equazione del piano vista generale

$Ax+ By + Cz + D=0$, koordinata

vettore normale

i piani rappresentano dhe koeficienti i dell'equazione $\(A;B;C\)$, e il vettore normale në questo caso ha koordinon calcolate dalla seguente equazione:

Inoltre Esprimiamo il koeficiente $D$ do të përdorë koordinimin e një piano për një piano $β$:

$D= Ascia_1+Per_1+Cz_1$

Le të koordinuar nga vettore normale unitario dall'uguaglianza $(2)$ possono essere sostituite nell'equazione del piano $β$, qundi abbiamo:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\sinistra(4\destra)$

L'uguaglianza $(4)$ është një formulë për trovare la distanca dhe punto dhe një piano nello spazio.

Algoritmo generale per trovare la distanza dal punto $M_0$ dhe piano

1. Se l'equazione del piano non è specificata in forma e përgjithshme, prima devi portarlo al generale.
2. Successivamente è necessario esprimere dall'equazione generale del piano il vetore normale di un data piano attraverso il punto $M_0$ e un punto appartenente a un data piano, per questo occorre utilizzare l'uguaglianza $(3)$; .
3. La Fase Successiva è la ricerca delle koordinate del vettore unitario normale del piano utilizzando la formulë $(2)$.
4. Infine, do të fillojë një trovare la distanza dal punto al piano, questo si fa calcolando il prodotto scalare dei vetori $\vec(n)$ e $\vec(M_1M_0)$.

, Concorso "Presentazione per la lezione"

Klasa: 11

Prezantoni della lezione

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Kujdes! Le anteprime delle diapozitive sono solo a scopo informativo dhe potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se siete interessati

questo lavoro

• , skarë versioni i plotë.
• Obiettivi:

generalizzazione e sistematizzazione delle conoscenze e delle competenze degli studenti;

• sviluppo di capacità di analizzare, ballafaqohem, trarre resulti.
• Attrezzatura:
• proiettore multimediale;

kompjuter;

fogli con testi problematic

PROGRESSO DELLA CLASSE I. Momento organizzativo

II.

Faza di aggiornamento delle conoscenze(diapozitiv 2)

Ripetiamo come viene determinata la distanza da un punto a un piano III. Konferenca

(diapozitiv 3-15) Në klasë vedremo

vari modi
trovare la distanza da un punto a un piano.
Metoda kryesore:

llogaritëse passo dopo passo

№1. Nel cubo A...D 1, trova la distanza dal punto C 1 al piano AB 1 C.

Resta da calcolare il valore della lunghezza del segmento O 1 N.

№2. Në un prisma esagonale regolare A...F 1, i cui lati sono tutti uguali a 1, determinare la distanza dal punto A al piano DEA 1.

Metoda e suksesshme: metoda e vëllimit.

Se il volume della piramide ABCM è uguale a V, la distanza dal punto M al piano α contenente ∆ABC è calcolata con la formula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Quando risolviamo dhe problemi, përdorimi i volumit të volumit të një cifra, espressa në modi të ndryshme.

Problemi Risolviamo il Seguente:

№3. Il bordo AD della piramide DABC është perpendicolare në bazën e pianos ABC.

Trova la distanza da A al piano passante per i punti medi degli spigoli AB, AC e AD, se. Quando si risolvono dhe problemi metoda e koordinimit la distanza dal punto M al piano α può essere calcolata utilizzando la formula ρ(M; α) =

Problemi Risolviamo il Seguente:

№4. , pëllumb M(x 0; y 0; z 0), e il piano è dato dall'equazione ax + by + cz + d = 0

Në un cubo unitario A...D 1, trova la distanza dal punto A 1 al piano BDC 1.
Introduciamo un sistema di koordinate con l'origine nel punto A, l'asse y passerà lungo il bordo AB, l'asse x lungo il bordo AD, l'asse z lungo il bordo AA 1. Quindi le koordinate dei punti B (0 1; 0) D (1; 0;) C 1 (1; 1)

Krijimi i një piano për të kaluar në pikën B, D, C 1.

Allora – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Pertanto, ρ = Il seguente metodo che può essere utilizzato per risolvere problemi di questo tipo è

metodo di supporto problemi.

Problemi Risolviamo il Seguente:

№5. L'aplicazione di questo metodo përbëhet nga nell'utilizzo di problemi di riferimento noti, formulati vijnë teoremi.

Në un cubo unitario A...D 1, trova la distanza dal punto D 1 al piano AB 1 C. Konsideroni aplikimin

№6. , pëllumb M(x 0; y 0; z 0), e il piano è dato dall'equazione ax + by + cz + d = 0

metodo vettoriale.

Quindi, abbiamo esaminato vari metodi che possono essere utilizzati per risolvere questo tipo di problema.

La scelta di un metodo o di un altro dipende dall'attività specifica e dalle preferenze.

№1. IV.

№2. Grupi Lavoro

№3. Provoni një problem të rizgjidhur në mënyra të ndryshme.

№4. Lo spigolo del cubo A...D 1 è uguale a .

V. Riepilogo della lezione, compiti a casa, riflessione

Determinazione della distanza tra: 1 - punto e piano;

2 - dritto e piatto;

3 - aerei;

4 - le linee rette che si incrociano sono i konsiderueshëm insieme, poiché l'algoritmo di soluzione per tutti questi problemi è essenzialmente lo stesso e konsiston në kostoruzioni gjeometrike che devono essere eseguite per determinare eseguite per determinare la to astan.

Se c'è qualche differenza, essa consiste solo nel fatto che nei casi 2 e 3, prima di iniziare a risolvere il problema, si dovrebbe segnare un punto arbitrario A sulla retta m (caso 2) o sul piano β (caso 3). distanze tra rette che si intersecano, prima le racchiudiamo nei piani paraleli α e β e poi determiniamo la distanza tra questi piani.

Konsideroni ciascuno dei casi noti di risoluzione dei problemi.

1. Determinazione della distanza tra un punto e un piano.

La distanza da un punto a un piano è determinata dalla lunghezza di un segmento perpendicolare tracciato da un punto al piano.

Për ta zgjidhur problemin që përbëhet nga nell'eseguire në sekuencën e seguenti operazioni grafiche: 1) dal punto A abbassiamo la perpendicolare al piano α (Fig. 269); 2) trovare il punto M di intersezione di tale perpendicolare con il piano M = a ∩ α;

3) determinare la lunghezza del segmento.

Se il piano α

posizione generale

Dall'esempio considerato risulta chiaro come il problema venga risolto semplicemente quando l'aereo occupa una posizione sporgente.

Për të, se nei dati di origine è specificato un piano di posizione generale, prima di procedere con la soluzione, il piano deve essere spostato in una posizione perpendicolare a qualsiasi piano di proiezione.

ESEMPIO 2. Determina la distanza dal punto K al piano specificato da ΔABC (Fig. 271).

1. Trasferiamo l'aereo ΔABC nella posizione di proiezione *.

Per fare ciò passiamo dal sistema xπ 2 /π 1 a x 1 π 3 /π 1: la direzione del nuovo asse x 1 viene scelta perpendicolare alla proiezione orizzontale del piano orizzontale del triangolo.

2. Proietta ΔABC su un nuovo piano π 3 (il piano ΔABC è proiettato su π 3, në [ C " 1 B " 1 ]).

3. Proiettare il punto K sullo stesso piano (K" → K" 1).

4. Attraverso il punto K" 1 tracciamo (K" 1 M" 1)⊥ il segmento [C" 1 B" 1 ]. La distanza richiesta d = |K" 1 M" 1 |

La soluzione del problema è semplificata se il piano è definito da tracce, poiché non è necessario disignare proiezioni di linee di livello.

ESEMPIO 3. Determinare la distanza dal punto K al piano α, specificato dalle tracce (Fig. 272).

* Il modo più razionale per trasferire il piano del triangolo nella posizione di proiezione è sostituire i piani di proiezione, poiché in questo caso è mjaftueshëm kostoruire una sola proiezione ausiliaria.

ZGJIDHJE.

Sostituiamo il piano π 1 con il piano π 3, per questo disegniamo un nuovo asse x 1 ⊥ f 0α.

3. Determinazione della distanza tra i piani.

La distanza tra i piani è determinata dalla dimensione del segmento perpendicolare lasciato cadere da un punto preso su un piano su un altro piano.

Da questa definizione segue che l'algoritmo per risolvere il problema di trovare la distanza tra i piani α e β differisce da un algoritmo simile per risolvere il problema di determinare la distanza tra la linea m e il piano α solo per il fatto che la linea deve appartenere al piano α, cioè per determinare la distanza tra i piani α e β segue:

1) prendere una retta m nel piano α;

2) selezionare un punto arbitrario A sulla linea m;

3) dal punto A abbassare la perpendicolare l al piano β;

4) determinare il punto M - il punto d'incontro della perpendicolare l con il piano β;

5) përcaktoni dimensione të segmentit.

Në praktikë è consigliabile utilizzare un algoritmo risolutivo diverso, che differirà da quello riportato solo per il fatto che, prima di procedere con il primo passo, i piani dovranno essere transferiti nella posizione di proiezione.

Përfshini kërkimin e operacioneve të aggiunteva nell'algoritmo semplifica l'esecuzione di tutti gli altri punti senza eccezioni, il che alla fine porta a una soluzione più semplice.

ESEMPIO 1. Determinare la distanza tra i piani α e β (Fig. 273).

ZGJIDHJE.

Passiamo dal sistema xπ 2 /π 1 a x 1 π 1 /π 3. Rispetto al nuovo piano π 3, i piani α e β occupano una posizione sporgente, pertanto la distanza tra le nuove tracce frontali f 0α 1 ef 0β 1 derat è quella .

Nella pratica ingegneristica, è spesso necessario risolvere il problema della costruzione di un piano paralelo a un data piano e lontano da esso dhe una determinata distanza.

L'esempio 2 di seguito illustra la soluzione një problematike përrallë.

ESEMPIO 2. Occorre costruire proiezioni di un piano β paralelo dhe un data piano α (m || n), se è noto che la distanza tra loro è d (Fig. 274).

1. Nel piano α, traccia linee orizzontali arbitrarie h (1, 3) e linee frontali f (1,2).

2. Dal punto 1 ripristiniamo la perpendicolare l al piano α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Sulla perpendicolare l segniamo un punto arbitrario A.

4. Determinare la lunghezza del segmento - (la posizione indica sul diagramma la direzione metricamente non distorta della retta l).

7. Attraverso il punto B disegniamo il piano β (h 1 ∩ f 1).

A β ||

α, è necessario rispettare la condizione h 1 ||

h e f 1 ||

F.

4. Determinazione della distanza tra le linee che si intersecano.

La distanza tra le linee che si intersecano è determinata dalla lunghezza della perpendicolare contenuta tra i piani paraleli a cui appartengono le linee che si intersecano.

Per tracciare piani α e β paralleli tra loro attraverso le rette m e f che si intersecano, è mjaftueshme condurre per il punto A (A ∈ m) una retta p parallela alla retta f, e per il punto B (B ∈ f) una retta k paralele alla retta m.

Le linee che si intersecano m e p, f e k definiscono i piani reciprocamente paraleli α e β (vedi Fig. 248, e).

La distanza tra i piani α e β è uguale alla distanza richiesta tra le linee che si incrociano m ed f.

Si può proporre un altro modo per determinare la distanza tra linee che si intersecano, che consiste nel fatto che, utilizzando un qualche metodo di trasformazione delle proiezioni ortogonali, una delle linee che si intersecano viene trasferita nella posizione.

Në questo caso, una proiezione della linea degenera in un punto.

Infatti, spostando la linea a in una posizione perpendicolare al piano π 4, ci assicuriamo che qualsiasi piano contenente la linea a sia perpendicolare al piano π 4, compreso il piano α definito dalle linee a e m (a ∩ m, m |. .

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Klasa: 11

Prezantoni della lezione

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Se ora tracciamo una linea n, paralela ad a e intersecante b, allora otteniamo il piano β, che è il secondo piano di parallelismo, che contiene le linee intersecanti a e b.

questo lavoro

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• sviluppo di capacità di analizzare, ballafaqohem, trarre resulti.
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• proiettore multimediale;

kompjuter;

fogli con testi problematic

PROGRESSO DELLA CLASSE I. Momento organizzativo

II.

Faza di aggiornamento delle conoscenze(diapozitiv 2)

Poiché β ||

(diapozitiv 3-15) Në klasë vedremo

vari modi
trovare la distanza da un punto a un piano.
Metoda kryesore:

llogaritëse passo dopo passo

№1. Nel cubo A...D 1, trova la distanza dal punto C 1 al piano AB 1 C.

Resta da calcolare il valore della lunghezza del segmento O 1 N.

№2. Në un prisma esagonale regolare A...F 1, i cui lati sono tutti uguali a 1, determinare la distanza dal punto A al piano DEA 1.

Metoda e suksesshme: metoda e vëllimit.

Se il volume della piramide ABCM è uguale a V, la distanza dal punto M al piano α contenente ∆ABC è calcolata con la formula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Quando risolviamo dhe problemi, përdorimi i volumit të volumit të një cifra, espressa në modi të ndryshme.

Problemi Risolviamo il Seguente:

№3. Il bordo AD della piramide DABC është perpendicolare në bazën e pianos ABC.

Trova la distanza da A al piano passante per i punti medi degli spigoli AB, AC e AD, se. Quando si risolvono dhe problemi metoda e koordinimit la distanza dal punto M al piano α può essere calcolata utilizzando la formula ρ(M; α) =

Problemi Risolviamo il Seguente:

№4. , pëllumb M(x 0; y 0; z 0), e il piano è dato dall'equazione ax + by + cz + d = 0

Në un cubo unitario A...D 1, trova la distanza dal punto A 1 al piano BDC 1.
Introduciamo un sistema di koordinate con l'origine nel punto A, l'asse y passerà lungo il bordo AB, l'asse x lungo il bordo AD, l'asse z lungo il bordo AA 1. Quindi le koordinate dei punti B (0 1; 0) D (1; 0;) C 1 (1; 1)

Krijimi i një piano për të kaluar në pikën B, D, C 1.

Allora – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Pertanto, ρ = Il seguente metodo che può essere utilizzato per risolvere problemi di questo tipo è

metodo di supporto problemi.

Problemi Risolviamo il Seguente:

№5. L'aplicazione di questo metodo përbëhet nga nell'utilizzo di problemi di riferimento noti, formulati vijnë teoremi.

Në un cubo unitario A...D 1, trova la distanza dal punto D 1 al piano AB 1 C. Konsideroni aplikimin

№6. , pëllumb M(x 0; y 0; z 0), e il piano è dato dall'equazione ax + by + cz + d = 0

metodo vettoriale.

Quindi, abbiamo esaminato vari metodi che possono essere utilizzati per risolvere questo tipo di problema.

La scelta di un metodo o di un altro dipende dall'attività specifica e dalle preferenze.

№1. IV.

№2. Grupi Lavoro

№3. Provoni një problem të rizgjidhur në mënyra të ndryshme.

№4. Lo spigolo del cubo A...D 1 è uguale a .

V. Riepilogo della lezione, compiti a casa, riflessione