Avstånd från ytans centrum till planet. Problem c2 i den enhetliga tillståndsundersökningen i matematik för att hitta avståndet från en punkt till ett plan

Din integritet är viktig för oss. Av den anledningen har vi utvecklat en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personlig information avses uppgifter som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta honom.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan följer några exempel på vilka typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• När du skickar en begäran på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress etc.

Hur vi använder din personliga information:

• Den personliga informationen vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och rapportera om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Ibland kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden.
• Vi kan också använda personlig information för interna ändamål, såsom att genomföra revisioner, dataanalys och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en pristävling, tävling eller liknande reklamevenemang kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut information som mottagits från dig till tredje part.

Undantag:

• Om det är nödvändigt - i enlighet med lagen, domstolsbeslut, vid domstolsförfaranden och / eller på grundval av offentliga begäranden eller begäranden från myndigheter på Ryska federationens territorium - att lämna ut din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att sådan avslöjande är nödvändig eller lämplig av säkerhet, brottsbekämpning eller andra socialt viktiga skäl.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi överföra den personliga informationen vi samlar in till en lämplig tredje part - den juridiska efterträdaren.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk samt från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respekt för din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker tar vi reglerna för sekretess och säkerhet till våra anställda och övervakar strikt genomförandet av sekretessåtgärder.

Att hitta avståndet från en punkt till ett plan är en vanlig uppgift som uppstår när man löser olika problem analytisk geometritill exempel att hitta avståndet mellan två korsande raka linjer eller mellan en rak linje och ett plan parallellt med det kan reduceras till detta problem.

Tänk på planet $ β $ och punkten $ M_0 $ med koordinaterna $ (x_0; y_0; z_0) $, som inte tillhör planet $ β $.

Definition 1

Det kortaste avståndet mellan punkten och planet kommer att vara den vinkelräta som sjönk från punkten $ М_0 $ till planet $ β $.

Figur 1. Avstånd från punkt till plan. Author24 - online-utbyte av studentpapper

Nedan följer hur man hittar avståndet från en punkt till ett plan med hjälp av koordinatmetoden.

Derivation av formeln för koordinatmetoden för att hitta avståndet från en punkt till ett plan i rymden

Vinkelrätt från punkten $ M_0 $, som skär planet $ β $ vid punkten $ M_1 $ med koordinaterna $ (x_1; y_1; z_1) $, ligger på en rak linje vars riktningsvektor är den normala vektorn för planet $ β $. I detta fall är längden på enhetsvektorn $ n $ lika med en. Följaktligen kommer avståndet från $ β $ till punkten $ M_0 $ att vara:

$ ρ \u003d | \\ vec (n) \\ cdot \\ vec (M_1M_0) | \\ left (1 \\ right) $, där $ \\ vec (M_1M_0) $ är den normala vektorn för planet $ β $ och $ \\ vec ( n) $ är enhetens normala vektor för det aktuella planet.

Om ekvationen av planet anges i allmän uppfattning $ Ax + By + Cz + D \u003d 0 $, koordinaterna för planets normala vektor är koefficienterna för ekvationen $ \\ (A; B; C \\) $, och enhetens normala vektor har i detta fall koordinater beräknade med följande ekvation:

$ \\ vec (n) \u003d \\ frac (\\ (A; B; C \\)) (\\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \\ vänster (2 \\ höger) $.

Nu kan du hitta koordinaterna för den normala vektorn $ \\ vec (M_1M_0) $:

$ \\ vec (M_0M_1) \u003d \\ (x_0 - x_1; y_0-y_1; z_0-z_1 \\) \\ vänster (3 \\ höger) $.

Vi uttrycker också koefficienten $ D $ med hjälp av koordinaterna för en punkt som ligger i planet $ β $:

$ D \u003d Ax_1 + By_1 + Cz_1 $

Koordinaterna för enhetens normala vektor från jämlikhet $ (2) $ kan ersättas med ekvationen för planet $ β $, då har vi:

$ ρ \u003d \\ frac (| A (x_0 -x_1) + B (y_0-y_1) + C (z_0-z_1) |) (\\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \u003d \\ frac ( | Ax_0 + By_0 + Cz_0- (Ax_1 + By_1 + Cz_1) |) (\\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \u003d \\ frac (Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) (\\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \\ vänster (4 \\ höger) $

Jämlikhet $ (4) $ är en formel för att hitta avståndet från en punkt till ett plan i rymden.

Allmän algoritm för att hitta avståndet från punkten $ M_0 $ till planet

1. Om ekvationen av planet inte ges i allmän form måste du först ta den till en allmän.
2. Därefter är det nödvändigt att från planens allmänna ekvation uttrycka den normala vektorn för det givna planet genom punkten $ M_0 $ och den punkt som tillhör det givna planet, för detta bör man använda lika $ (3) $.
3. Nästa steg är sökningen efter koordinaterna för enhetens normala vektor för planet med formeln $ (2) $.
4. Slutligen kan du börja hitta avståndet från en punkt till ett plan, detta görs genom att beräkna punktprodukten för vektorerna $ \\ vec (n) $ och $ \\ vec (M_1M_0) $.

, Tävling "Presentation för lektionen"

Klass: 11

Lektionspresentation

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Bildförhandsvisningen används endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla presentationsalternativ. Om du är intresserad av detta arbete, vänligen ladda ner hela versionen.

Mål:

• generalisering och systematisering av elevernas kunskaper och färdigheter;
• utveckling av färdigheter för att analysera, jämföra, dra slutsatser.

Utrustning:

• multimedia projektor;
• en dator;
• kalkylblad med uppgiftstexter

LEKTIONSPROCESS

I. Organisatoriskt ögonblick

II. Kunskapsuppdateringsstadiet (bild 2)

Vi upprepar hur avståndet från en punkt till ett plan bestäms

III. Föreläsning (bild 3-15)

I den här lektionen kommer vi att titta på olika sätt att hitta avståndet från en punkt till ett plan.

Första metoden: stegvis beräkning

Avstånd från punkt M till plan α:
- är lika med avståndet till planet α från en godtycklig punkt P som ligger på den raka linjen a, som passerar genom punkten M och är parallell med planet α;
- är lika med avståndet till planet α från en godtycklig punkt P som ligger på planet β, som passerar genom punkten M och är parallell med planet α.

Låt oss lösa följande uppgifter:

№1. I kuben A ... D 1 hitta avståndet från punkt C 1 till planet AB 1 C.

Det återstår att beräkna värdet på segmentet O 1 N.

№2. I ett vanligt sexkantigt prisma A ... F 1, vars alla kanter är lika med 1, hittar du avståndet från punkt A till planet DEA 1.

Nästa metod: volymmetod.

Om volymen på pyramiden ABCM är lika med V, beräknas avståndet från punkt M till planet α innehållande ∆ABS med formeln ρ (M; α) \u003d ρ (M; ABC) \u003d
När vi löser problem använder vi lika stor volym för en figur, uttryckt på två olika sätt.

Låt oss lösa följande problem:

№3. Kanten AD på pyramiden DABC är vinkelrät mot planet ABC. Hitta avståndet från A till planet som passerar genom mittpunkterna på revbenen AB, AC och AD, om.

När man löser problem koordinatmetod avståndet från punkt M till plan α kan beräknas med formeln ρ (M; α) \u003d , där M (x 0; y 0; z 0), och planet ges av ekvationen ax + av + cz + d \u003d 0

Låt oss lösa följande problem:

№4. I enhetens kub A ... D 1 hitta avståndet från punkt A1 till planet BDC 1.

Vi introducerar ett koordinatsystem med ursprunget vid punkt A, y-axeln kommer att löpa längs AB-kanten, x-axeln längs AD-kanten och z-axeln längs AA 1-kanten. Därefter koordinaterna för punkterna В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Låt oss komponera ekvationen för planet som passerar genom punkterna B, D, C 1.

Sedan - dx - dy + dz + d \u003d 0 x + y - z - 1 \u003d 0. Därför är ρ \u003d

Nästa metod som kan användas för att lösa problem av denna typ är - metod för stöduppgifter.

Tillämpningen av denna metod består i tillämpningen av kända stödproblem, som formuleras som satser.

Låt oss lösa följande problem:

№5. I enhetens kub A ... D 1 hitta avståndet från punkt D 1 till planet AB 1 C.

Tänk på ansökan vektormetod.

№6. I enhetens kub A ... D 1 hitta avståndet från punkt A 1 till planet BDC 1.

Så vi tittade på de olika metoderna som kan användas för att lösa denna typ av problem. Valet av den här eller den här metoden beror på den specifika uppgiften och dina preferenser.

IV. Arbeta i grupper

Försök att lösa problemet på olika sätt.

№1. Kubens kant A ... D 1 är lika. Hitta avståndet från toppunkt C till plan BDC 1.

№2. Hitta avståndet från punkt A till planet BDC i en vanlig tetraeder ABCD med en kant

№3. I ett vanligt triangulärt prisma ABCA 1 B 1 C 1, vars alla kanter är lika med 1, hittar avståndet från A till planet BCA 1.

№4. I en vanlig rektangulär pyramid SABCD med alla kanter lika med 1, hitta avståndet från A till SCD-planet.

V. Lektionsöversikt, läxor, reflektion

Bestämning av avståndet mellan: 1 - punkt och plan; 2 - rak och plan; 3 - plan; 4 - korsade linjer betraktas tillsammans, eftersom lösningsalgoritmen för alla dessa problem i huvudsak är densamma och består av geometriska konstruktioner som måste utföras för att bestämma avståndet mellan den givna punkten A och planet α. Om det finns någon skillnad, består det bara i det faktum att man i fall 2 och 3, innan man fortsätter med lösningen på problemet, bör markera en godtycklig punkt A på linjen m (fall 2) eller planet β (fall 3 Avstånden mellan de korsande raka linjerna är preliminärt inneslutna i parallella plan α och β med efterföljande bestämning av avståndet mellan dessa plan.

Låt oss överväga vart och ett av de noterade fallen för att lösa problem.

1. Bestämning av avståndet mellan en punkt och ett plan.

Avståndet från en punkt till ett plan bestäms av längden på ett vinkelrätt segment som tappats från en punkt till ett plan.

Därför består lösningen på detta problem i sekventiell körning av följande grafiska operationer:

1) från punkt A sänker vi vinkelrätt mot planet α (fig 269);

2) hitta skärningspunkten M för denna vinkelrätt med planet M \u003d a ∩ α;

3) bestämma längden på segmentet.

Om planet α allmänna ståndpunkt, för att sänka vinkelrätt mot detta plan, är det nödvändigt att först bestämma riktningen för utsprången på det horisontella och frontala planet. För att hitta mötesplatsen för denna vinkelrätt med planet krävs också ytterligare geometriska konstruktioner.

Lösningen på problemet förenklas om planet a upptar en viss position relativt projiceringsplanen. I detta fall utförs både utsprånget av vinkelrät och upptäckten av punkten för mötet med planet utan ytterligare hjälpkonstruktioner.

EXEMPEL 1. Bestäm avståndet från punkt A till det främre utskjutande planet α (fig. 270).

BESLUT. Genom A "ritar vi en horisontell projektion av den vinkelräta l" ⊥ h 0α, och genom A "- dess frontprojektion l" ⊥ f 0α. Vi markerar punkten M "\u003d l" ∩ f 0α. Sedan AM || π 2, sedan [A "M"] \u003d\u003d | AM | \u003d d.

Från det övervägda exemplet kan du se hur lätt det är att lösa problemet när planet intar en projiceringsposition. Därför, om ett allmänt positionsplan är inställt i initialdata, bör planet, innan du fortsätter med lösningen, överföras till en position vinkelrät mot vilket projektionsplan som helst.

EXEMPEL 2. Bestäm avståndet från punkt K till det plan som ges av ΔABS (Fig. 271).

1. Vi översätter planet ΔABS till projektionspositionen *. För att göra detta passerar vi från systemet xπ 2 / π 1 till x 1 π 3 / π 1: riktningen för den nya axeln x 1 väljs vinkelrätt mot den horisontella projektionen av det horisontella planet i triangeln.

2. Vi projicerar ΔABS på ett nytt plan π 3 (ΔABS-planet kommer att projiceras på π 3, i [С "1 В" 1].

3. Låt oss projicera punkten К (К "→ К" 1) på samma plan.

4. Genom punkt K "1 drar vi (K" 1 M "1) ⊥ segment [C" 1 B "1]. Det erforderliga avståndet d \u003d | K" 1 M "1 |.

Lösningen på problemet förenklas om planet definieras med spår, eftersom det inte finns något behov av att utföra projektioner av nivålinjerna.

EXEMPEL 3. Bestäm avståndet från punkt K till planet α, som ges av spåren (Fig. 272).

* Det mest rationella sättet att överföra triangelns plan till projektionspositionen är att ersätta projiceringsplanen, eftersom det i detta fall är tillräckligt att bara konstruera en hjälpprojektion.

BESLUT. Vi ersätter planet π 1 med planet π 3, för detta drar vi en ny axel x 1 ⊥ f 0α. På h 0α markerar vi en godtycklig punkt 1 "och definierar dess nya horisontella projektion på planet π 3 (1" 1). Genom punkterna X α 1 (X α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) och 1 "1 rita h 0α 1. Definiera en ny horisontell projektion av punkten K → K" 1. Från punkt K "1 sänker vi vinkelrätt mot h 0a 1 och markerar skärningspunkten med h 0α 1 - М" 1. Längden på linjesegmentet K "1 M" 1 anger önskat avstånd.

2. Bestämning av avståndet mellan en rak linje och ett plan.

Avståndet mellan den raka linjen och planet bestäms av längden på det vinkelräta segmentet som tappats från en godtycklig punkt av den raka linjen på planet (se fig. 248).

Därför skiljer sig lösningen på problemet med att bestämma avståndet mellan den raka linjen m och planet a inte från exemplen som beaktas i punkt 1 för att bestämma avståndet mellan en punkt och ett plan (se fig. 270 ... 272) . Varje punkt som tillhör linjen m kan tas som en punkt.

3. Bestämning av avståndet mellan planen.

Avståndet mellan planen bestäms av storleken på det vinkelräta segmentet som sjönk från en punkt som tas i ett plan till ett annat plan.

Det följer av denna definition att algoritmen för att lösa problemet med att hitta avståndet mellan planen a och β skiljer sig från den analoga algoritmen för att lösa problemet för att bestämma avståndet mellan den raka linjen m och planet a endast genom att den raka linjen m måste tillhöra planet α, dvs för att bestämma avståndet mellan planen α och β, följer:

1) ta linjen m i planet α;

2) välj en godtycklig punkt A på raden m;

3) från punkt A, sänka den vinkelräta l till planet β;

4) bestämma punkten M - mötespunkten för den vinkelräta l med planet β;

5) bestämma storleken på segmentet.

I praktiken är det tillrådligt att använda en annan lösningsalgoritm, som kommer att skilja sig från den som ges endast genom att planen bör överföras till projiceringspositionen innan du fortsätter med det första steget.

Inkluderingen av denna ytterligare operation i algoritmen förenklar implementeringen av alla andra punkter utan undantag, vilket i slutändan leder till en enklare lösning.

EXEMPEL 1. Bestäm avståndet mellan planen α och β (Fig. 273).

BESLUT. Vi passerar från systemet xπ 2 / π 1 till x 1 π 1 / π 3. Med avseende på det nya planet π 3 upptar planen α och β en projiceringsposition, så avståndet mellan de nya frontspåren f 0a 1 och f 0 β 1 är önskat.

I ingenjörspraxis är det ofta nödvändigt att lösa problemet med att konstruera ett plan parallellt med ett visst och avlägset från det på ett visst avstånd. Exempel 2 nedan illustrerar lösningen på ett sådant problem.

EXEMPEL 2. Det krävs att konstruera utsprång av planet β, parallellt med det givna planet α (m || n), om det är känt att avståndet mellan dem är lika med d (Fig. 274).

1. I planet α ritar vi godtycklig horisontell h (1, 3) och frontal f (1,2).

2. Från punkt 1 återställer vi den vinkelräta l till planet α (l "⊥ h", l "⊥ f").

3. Markera en godtycklig punkt A. På den vinkelräta l.

4. Bestäm längden på segmentet - (positionen anger den metriskt oförvrängda riktningen för den raka linjen l på diagrammet).

5. Lägg åt sidan på en rak linje (1 "A 0) från punkt 1" segment \u003d d.

6. Markera på utsprången l "och l" punkter B "och B" motsvarande punkt B 0.

7. Rita planet β (h 1 ∩ f 1) genom punkt B. Till β || α, villkoret h 1 || h och f 1 || f.

4. Bestämning av avståndet mellan korsande linjer.

Avståndet mellan korsningslinjer bestäms av längden på den vinkelräta inneslutna mellan de parallella planen som korsningslinjerna tillhör.

För att dra ömsesidigt parallella plan α och β genom korsningslinjerna m och f är det tillräckligt att rita en linje p parallellt med linjen f genom punkten A (A ∈ m) och genom punkten B (B ∈ f ) till linjen k parallellt med linjen m ... De korsande raka linjerna m och p, f och k definierar ömsesidigt parallella plan α och β (se fig 248, e). Avståndet mellan planen α och β är lika med det erforderliga avståndet mellan de korsande raka linjerna m och f.

Det är möjligt att föreslå ett annat sätt att bestämma avståndet mellan korsningslinjer, vilket består i det faktum att med hjälp av någon metod för transformation av ortogonala utsprång överförs en av korsningslinjerna till en projiceringsposition. I detta fall försämras en projektion av den raka linjen till en punkt. Avståndet mellan de nya utsprången för korsande linjer (punkt A "2 och segment C" 2 D "2) är det önskade.

I fig. 275 visar lösningen på problemet med att bestämma avståndet mellan korsande raka linjer a och b, ges av segmenten [AB] och [CD]. Lösningen utförs i följande sekvens:

1. Överför en av korsningslinjerna (a) till en position parallell med planet π 3; för att göra detta passerar de från systemet med projektionsplan xπ 2 / π 1 till det nya x 1 π 1 / π 3, x 1-axeln dras parallellt med den horisontella projektionen av den raka linjen a. Bestäm a "1 [A" 1 B "1] och b" 1.

2. Överför linjen genom att ersätta planet π 1 med planet π 4

och i läge a "2, vinkelrätt mot planet π 4 (den nya axeln x 2 utförs vinkelrätt mot en" 1).

3. Bygg en ny horisontell projektion av den raka linjen b "2 - [C" 2 D "2].

4. Avstånd från punkt A "2 till rak linje C" 2 D "2 (segment (A" 2 M "2] (är önskat).

Man bör komma ihåg att överföringen av en av korsningslinjerna till den utskjutande positionen är inget annat än överföringen av parallellitetsplanen, i vilka linjerna a och b kan omslutas, även till den utskjutande positionen.

I själva verket överför vi linjen a till en position vinkelrät mot planet π 4, vi säkerställer vinkelrätten för vilket plan som helst som innehåller linjen a till planet π 4, inklusive planet α definierat av raka linjer a och m (a ∩ m, m | | b). Om vi \u200b\u200bnu drar en linje n parallell med a och korsande linje b, får vi planet β, vilket är det andra planet för parallellism, som innehåller korsningslinjerna a och b. Sedan β || α, sedan β ⊥ π 4.

, Tävling "Presentation för lektionen"

Klass: 11

Lektionspresentation

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Bildförhandsvisningen används endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla presentationsalternativ. Om du är intresserad av detta arbete, vänligen ladda ner hela versionen.

Mål:

• generalisering och systematisering av elevernas kunskaper och färdigheter;
• utveckling av färdigheter för att analysera, jämföra, dra slutsatser.

Utrustning:

• multimedia projektor;
• en dator;
• kalkylblad med uppgiftstexter

LEKTIONSPROCESS

I. Organisatoriskt ögonblick

II. Kunskapsuppdateringsstadiet (bild 2)

Vi upprepar hur avståndet från en punkt till ett plan bestäms

III. Föreläsning (bild 3-15)

I den här lektionen kommer vi att titta på olika sätt att hitta avståndet från en punkt till ett plan.

Första metoden: stegvis beräkning

Avstånd från punkt M till plan α:
- är lika med avståndet till planet α från en godtycklig punkt P som ligger på den raka linjen a, som passerar genom punkten M och är parallell med planet α;
- är lika med avståndet till planet α från en godtycklig punkt P som ligger på planet β, som passerar genom punkten M och är parallell med planet α.

Låt oss lösa följande uppgifter:

№1. I kuben A ... D 1 hitta avståndet från punkt C 1 till planet AB 1 C.

Det återstår att beräkna värdet på segmentet O 1 N.

№2. I ett vanligt sexkantigt prisma A ... F 1, vars alla kanter är lika med 1, hittar du avståndet från punkt A till planet DEA 1.

Nästa metod: volymmetod.

Om volymen på pyramiden ABCM är lika med V, beräknas avståndet från punkt M till planet α innehållande ∆ABS med formeln ρ (M; α) \u003d ρ (M; ABC) \u003d
När vi löser problem använder vi lika stor volym för en figur, uttryckt på två olika sätt.

Låt oss lösa följande problem:

№3. Kanten AD på pyramiden DABC är vinkelrät mot planet ABC. Hitta avståndet från A till planet som passerar genom mittpunkterna på revbenen AB, AC och AD, om.

När man löser problem koordinatmetod avståndet från punkt M till plan α kan beräknas med formeln ρ (M; α) \u003d , där M (x 0; y 0; z 0), och planet ges av ekvationen ax + av + cz + d \u003d 0

Låt oss lösa följande problem:

№4. I enhetens kub A ... D 1 hitta avståndet från punkt A1 till planet BDC 1.

Vi introducerar ett koordinatsystem med ursprunget vid punkt A, y-axeln kommer att löpa längs AB-kanten, x-axeln längs AD-kanten och z-axeln längs AA 1-kanten. Därefter koordinaterna för punkterna В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Låt oss komponera ekvationen för planet som passerar genom punkterna B, D, C 1.

Sedan - dx - dy + dz + d \u003d 0 x + y - z - 1 \u003d 0. Därför är ρ \u003d

Nästa metod som kan användas för att lösa problem av denna typ är - metod för stöduppgifter.

Tillämpningen av denna metod består i tillämpningen av kända stödproblem, som formuleras som satser.

Låt oss lösa följande problem:

№5. I enhetens kub A ... D 1 hitta avståndet från punkt D 1 till planet AB 1 C.

Tänk på ansökan vektormetod.

№6. I enhetens kub A ... D 1 hitta avståndet från punkt A 1 till planet BDC 1.

Så vi tittade på de olika metoderna som kan användas för att lösa denna typ av problem. Valet av den här eller den här metoden beror på den specifika uppgiften och dina preferenser.

IV. Arbeta i grupper

Försök att lösa problemet på olika sätt.

№1. Kubens kant A ... D 1 är lika. Hitta avståndet från toppunkt C till plan BDC 1.

№2. Hitta avståndet från punkt A till planet BDC i en vanlig tetraeder ABCD med en kant

№3. I ett vanligt triangulärt prisma ABCA 1 B 1 C 1, vars alla kanter är lika med 1, hittar avståndet från A till planet BCA 1.

№4. I en vanlig rektangulär pyramid SABCD med alla kanter lika med 1, hitta avståndet från A till SCD-planet.

V. Lektionsöversikt, läxor, reflektion