Bir noktadan koordinat düzlemlerine olan mesafeyi bulun. Noktadan düzleme uzaklık: bulmanın tanımı ve örnekleri

Bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmak, çeşitli problemleri çözerken ortaya çıkan yaygın bir görevdir. analitik Geometriörneğin, kesişen iki düz çizgi arasındaki veya düz bir çizgi ile ona paralel bir düzlem arasındaki mesafeyi bulmak bu soruna indirgenebilir.

$ Β $ düzlemine ait olmayan $ (x_0; y_0; z_0) $ koordinatlarına sahip $ β $ uçağını ve $ M_0 $ noktasını düşünün.

Tanım 1

Nokta ile düzlem arasındaki en kısa mesafe, $ М_0 $ noktasından $ β $ düzlemine düşürülen dikey mesafe olacaktır.

Şekil 1. Bir noktadan düzleme uzaklık. Author24 - öğrenci kağıtlarının çevrimiçi değişimi

Aşağıda, koordinat yöntemini kullanarak bir noktadan düzleme olan mesafeyi nasıl bulacağınız anlatılmaktadır.

Uzayda bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmak için koordinat yöntemi formülünün türetilmesi

$ M_0 $ noktasından dik olan, $ M_1 $ noktasında $ (x_1; y_1; z_1) $ koordinatlarıyla kesişen $ β $ düzlemi ile kesişen, yön vektörü $ β $ düzleminin normal vektörü olan düz bir çizgi üzerindedir. Bu durumda, $ n $ birim vektörünün uzunluğu bire eşittir. Buna göre, $ β $ ile $ M_0 $ noktası arasındaki mesafe şöyle olacaktır:

$ ρ \u003d | \\ vec (n) \\ cdot \\ vec (M_1M_0) | \\ left (1 \\ right) $, burada $ \\ vec (M_1M_0) $ $ β $ düzleminin normal vektörü ve $ \\ vec (n) $ söz konusu düzlemin birim normal vektörüdür.

Düzlemin denkleminin verildiği durumda genel görünüm $ Ax + By + Cz + D \u003d 0 $, düzlemin normal vektörünün koordinatları $ \\ (A; B; C \\) $ denkleminin katsayılarıdır ve bu durumda birim normal vektör aşağıdaki denklemle hesaplanan koordinatlara sahiptir:

$ \\ vec (n) \u003d \\ frac (\\ (A; B; C \\)) (\\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \\ left (2 \\ right) $.

Şimdi $ \\ vec (M_1M_0) $ normal vektörünün koordinatlarını bulabilirsiniz:

$ \\ vec (M_0M_1) \u003d \\ (x_0 - x_1; y_0-y_1; z_0-z_1 \\) \\ left (3 \\ sağ) $.

Ayrıca $ D $ katsayısını $ β $ düzleminde yatan bir noktanın koordinatlarını kullanarak ifade ederiz:

$ D \u003d Ax_1 + By_1 + Cz_1 $

$ (2) $ eşitliğinden birim normal vektörün koordinatları $ β $ düzleminin denklemine ikame edilebilir, o zaman elimizde:

$ ρ \u003d \\ frac (| A (x_0 -x_1) + B (y_0-y_1) + C (z_0-z_1) |) (\\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \u003d \\ frac ( | Ax_0 + By_0 + Cz_0- (Ax_1 + By_1 + Cz_1) |) (\\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \u003d \\ frac (Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) (\\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \\ left (4 \\ right) $

Eşitlik $ (4) $, uzayda bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmak için bir formüldür.

$ M_0 $ noktasından uçağa olan mesafeyi bulmak için genel algoritma

1. Düzlemin denklemi genel bir biçimde verilmemişse, önce onu genel bir denklem haline getirmelisiniz.
2. Bundan sonra, düzlemin genel denkleminden verilen düzlemin normal vektörünü $ M_0 $ noktasından ve verilen düzleme ait noktadan ifade etmek gerekir; bunun için $ (3) $ eşitliği kullanılmalıdır.
3. Bir sonraki aşama, $ (2) $ formülünü kullanarak düzlemin birim normal vektörünün koordinatlarının aranmasıdır.
4. Son olarak, bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmaya başlayabilirsiniz, bu $ \\ vec (n) $ ve $ \\ vec (M_1M_0) $ vektörlerinin iç çarpımını hesaplayarak yapılır.

Paralellik ve diklik koşulları

1 °. İki düzlemin eşdüzlem durumu

İki uçak verilsin:

Bir 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {Bir 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

Bir 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {Bir 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Ne zaman eş düzlemlidirler (yani paralel veya aynı)? Açıktır ki, bu ancak ve ancak normal vektörleri eşdoğrusal ise olacaktır. Eş düzlemlilik kriterini uygulayarak elde ederiz

Önerme 1. İki düzlem, ancak ve ancak normal vektörlerinin çapraz çarpımı sıfır vektörüne eşitse eş düzlemlidir:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2 °. İki uçağın çakışması durumu

Önerme 2. (1) ve (2) düzlemleri, ancak ve ancak katsayılarının dördünün de orantılı olması durumunda çakışır, yani bir λ sayısı öyle ki

Bir 2 \u003d λ Bir 1 , B 2 \u003d λ B 1 , C 2 \u003d λ C 1 , D 2 \u003d λ D 1 . (3)

Kanıt. Koşulların (3) karşılanmasına izin verin. Daha sonra ikinci düzlemin denklemi şu şekilde yazılabilir:

λ Bir 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, aksi takdirde Bir 2 = B 2 = C 2 = D 2 \u003d 0, koşulla çelişir n 2 ≠ 0 ... Bu nedenle, son denklem denklem (1) 'e eşdeğerdir, bu da iki düzlemin çakıştığı anlamına gelir.

Şimdi varsayalım ki, tersine, bu uçakların çakıştığı biliniyor. O zaman normal vektörleri eşdoğrusaldır, yani bir λ sayısı vardır, öyle ki

Bir 2 \u003d λ Bir 1 , B 2 \u003d λ B 1 , C 2 \u003d λ C 1 .

Denklem (2) artık şu şekilde yeniden yazılabilir:

λ Bir 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

Denklem (1) ile λ çarpılarak, ilk düzlem için eşdeğer bir denklem elde ederiz (λ ≠ 0'dan beri):

λ Bir 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Bir noktaya gelin ( x 0 , y 0 , z 0) birinci (ve dolayısıyla ikinci) düzlemden ve koordinatlarını son iki denkleme yerleştir; doğru eşitlikleri elde ederiz:

λ Bir 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ Bir 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Yukarıdan aşağıyı çıkararak elde ederiz D 2 - λ D 1 \u003d 0, yani D 2 \u003d λ D 1, QED.

3 °. İki düzlemin diklik durumu

Açıktır ki, bunun için normal vektörlerin dik olması gerekli ve yeterlidir.

Önerme 3. İki düzlem, ancak ve ancak normal vektörlerin skaler çarpımı sıfırsa diktir:

(n 1 , n 2) = 0 .

Uçağın denklemi verilsin

Balta + Tarafından + Cz + D = 0, n = {Bir; B; C} ≠ 0 ,

ve nokta M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Bir noktadan düzleme olan mesafenin formülünü türetiyoruz:

Keyfi bir noktaya değin Q = (x 1 , y 1 , z 1) bu düzlemde yatmak. Koordinatları düzlem denklemini karşılar:

Balta 1 + Tarafından 1 + Cz 1 + D = 0.

Şimdi gerekli mesafenin d vektör projeksiyonunun mutlak değerine eşittir vektör yönünde n (burada projeksiyonu bir vektör olarak değil sayısal bir değer olarak alıyoruz). Ardından, projeksiyonu hesaplamak için formülü uygularız:

Mesafe için benzer bir formül geçerlidir d noktadan M 0 = (x 0 , y 0) genel denklemle tanımlanan düz bir çizgiye düzlem Balta + Tarafından + C = 0.

Bununla cevrimici hesap makinesi bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulabilirsiniz. Açıklamalarla birlikte ayrıntılı bir çözüm verilmiştir. Bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplamak için noktanın koordinatlarını ve düzlem denkleminin katsayılarını hücrelere girin ve Çöz düğmesine tıklayın.

×

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri giriş talimatları. Sayılar tam sayılar (örnekler: 487, 5, -7623, vb.), Ondalık sayılar (ör. 67., 102.54, vb.) Veya kesirler olarak girilir. Kesir, a / b biçiminde yazılmalıdır; burada a ve b (b\u003e 0) tam sayı veya ondalık sayıdır. Örnek 45/5, 6.6 / 76.4, -7 / 6.7, vb.

Noktadan düzleme uzaklık - teori, örnekler ve çözümler

Bir noktadan mesafeyi bulmak için M 0 uçağa α , noktadan mesafeyi bulmalısın M 0 nokta projeksiyonundan önce M Uçak başına 0 α :

Bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmak aşağıdaki adımları içerir:

1. düz bir çizgi oluşturmak Lnoktadan geçmek M 0 ve dikey düzlem α .
2. bir nokta bulmak M 1 uçak geçişi α düz ile L(Şekil 1).
3. noktalar arasındaki mesafeyi hesaplamak M 0 ve M 1 .

nerede n(A, B, C) - düzlemin normal vektörü olarak adlandırılır.

Bir noktadan geçen düz çizginin denklemi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve bir yön vektörüne sahip q(l, m, n) aşağıdaki forma sahiptir:

Düz bir çizginin kesişme noktasını bulmak için L uçakla α , düşünmesi en kolay parametrik denklem Düz. Hadi besteleyelim

Parametrenin değeri verildiğinde t, sahibiz:

Düzlemin normal vektörü:

şunlar. Bir=5, B=1, C=2.

Nokta koordinatları M 0: x 0 =2, y 0 =−1, z 0 =−9/31.

Bir noktanın koordinatlarını değiştirme M 0 ve düzlemin normal vektörünü (5) 'de elde ederiz.

Aralarındaki mesafenin belirlenmesi: 1 - nokta ve düzlem; 2 - düz ve düz; 3 - uçaklar; Tüm bu problemler için çözüm algoritması esasen aynı olduğundan ve verilen A noktası ile α düzlemi arasındaki mesafeyi belirlemek için gerçekleştirilmesi gereken geometrik yapılardan oluştuğundan 4 - çapraz çizgiler birlikte ele alınır. Herhangi bir fark varsa, bu sadece 2 ve 3 numaralı durumlarda, problemin çözümüne geçmeden önce, m doğrusunda (durum 2) veya düzlemde plane (durum 3) keyfi bir A noktasının işaretlenmesi gerektiği gerçeğinden oluşur. Kesişen düz çizgiler arasındaki mesafeler, bu düzlemler arasındaki mesafenin daha sonra belirlenmesi ile ilk olarak paralel düzlemler α ve β içine alınır.

Belirtilen sorun çözme durumlarının her birini ele alalım.

1. Bir nokta ile bir düzlem arasındaki mesafenin belirlenmesi.

Bir noktadan düzleme olan mesafe, bir noktadan bir düzleme bırakılan dikey bir parçanın uzunluğuyla belirlenir.

Bu nedenle, bu sorunun çözümü aşağıdaki grafik işlemlerinin sıralı olarak yürütülmesinden oluşur:

1) A noktasından α düzlemine dik olanı indiririz (Şekil 269);

2) bu dikin M \u003d a ∩ α düzlemi ile kesiştiği M noktasını bulun;

3) segmentin uzunluğunu belirleyin.

Uçak α genel pozisyon, daha sonra bu düzleme dik olarak alçaltmak için, önce bu düzlemin yatay ve ön tarafındaki çıkıntıların yönünü belirlemek gerekir. Bu dikin düzlemle buluşma noktasını bulmak da ek geometrik yapılar gerektirir.

Düzlem a, projeksiyon düzlemlerine göre belirli bir pozisyonda kalıyorsa, problemin çözümü basitleştirilir. Bu durumda, hem dikin çıkıntısı hem de düzlemle buluşma noktasının bulunması, herhangi bir ek yardımcı yapı olmadan gerçekleştirilir.

ÖRNEK 1. A noktasından öne doğru çıkıntı yapan düzlem α'ya olan mesafeyi belirleyin (Şekil 270).

KARAR. A "ile dikey l" ⊥ h 0α'nın yatay bir izdüşümü çiziyoruz ve A "- önden izdüşümü l" ⊥ f 0α. M "\u003d l" ∩ f 0α noktasını işaretleriz. AM'den beri || π 2, sonra [A "M"] \u003d\u003d | AM | \u003d d.

Ele alınan örnekten, düzlem bir projeksiyon pozisyonunda olduğunda problemi çözmenin ne kadar kolay olduğunu görebilirsiniz. Bu nedenle, başlangıç \u200b\u200bverilerinde genel bir konum düzlemi ayarlanmışsa, çözüme geçmeden önce düzlem, herhangi bir projeksiyon düzlemine dik bir konuma aktarılmalıdır.

ÖRNEK 2. K noktasından ΔABS tarafından belirtilen düzleme olan mesafeyi belirleyin (Şekil 271).

1. ΔABS düzlemini projeksiyon konumuna * çeviririz. Bunu yapmak için, xπ 2 / π 1 sisteminden x 1 π 3 / π 1'e geçiyoruz: yeni eksenin yönü x 1, üçgenin yatay düzleminin yatay izdüşümüne dik olarak seçilir.

2. ΔABS'yi yeni bir düzlem π 3 üzerine yansıtıyoruz (ΔABS düzlemi [С "1 В" 1] 'de π 3'e yansıtılacaktır).

3. К (К "→ К" 1) noktasını aynı düzleme yansıtalım.

4. K "1 noktasından (K" 1 M "1) ⊥ segmenti [C" 1 B "1] çiziyoruz. Gerekli mesafe d \u003d | K" 1 M "1 |.

Düzlem izlerle tanımlanırsa problemin çözümü basitleştirilir, çünkü seviye çizgilerinin projeksiyonlarını gerçekleştirmeye gerek yoktur.

ÖRNEK 3. İzlerle verilen, K noktasından α düzlemine olan mesafeyi belirleyin (Şekil 272).

* Üçgen düzlemini projeksiyon konumuna aktarmanın en rasyonel yolu, projeksiyon düzlemlerini değiştirmektir, çünkü bu durumda yalnızca bir yardımcı çıkıntı oluşturmak yeterlidir.

KARAR. Π 1 düzlemini π 3 düzlemi ile değiştiriyoruz, bunun için yeni bir x 1 ⊥ f 0α ekseni çiziyoruz. H 0α'da gelişigüzel bir noktayı 1 "işaretleriz ve onun yeni yatay izdüşümünü π 3 (1" 1) düzleminde tanımlarız. X α 1 noktalarından (X α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) ve 1 "1 h 0α çizin 1. K → K noktasının yeni bir yatay izdüşümünü tanımlayın" 1. K "1 noktasından dik olanı h 0α 1'e indiririz ve h 0α 1 - M" 1 ile kesişme noktasını işaretleriz. Çizgi parçasının uzunluğu K "1 M" 1 istenen mesafeyi gösterecektir.

2. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki mesafenin belirlenmesi.

Düz çizgi ile düzlem arasındaki mesafe, düz çizginin rasgele bir noktasından düzleme düşen dikey parçanın uzunluğu ile belirlenir (bkz. Şekil 248).

Bu nedenle, düz çizgi m ile düzlem a arasındaki mesafeyi belirleme probleminin çözümü, bir nokta ile bir düzlem arasındaki mesafeyi belirlemek için madde 1'de ele alınan örneklerden farklı değildir (bkz. Şekil 270 ... 272). M doğrusuna ait herhangi bir nokta nokta olarak alınabilir.

3. Uçaklar arasındaki mesafenin belirlenmesi.

Düzlemler arasındaki mesafe, bir düzlemde alınan bir noktadan başka bir düzleme düşen dikey parçanın boyutuna göre belirlenir.

Bu tanımdan, α ve β düzlemleri arasındaki mesafeyi bulma problemini çözmek için kullanılan algoritmanın, m düz çizgisi ile α düzlemi arasındaki mesafeyi belirlemek için problemi çözmek için analog algoritmadan farklı olduğunu, sadece m düz çizgisinin α düzlemine ait olması gerektiği, yani belirlemek için α ve β düzlemleri arasındaki mesafe şu şekildedir:

1) α düzlemindeki m doğrusunu alın;

2) m doğrusu üzerinde rastgele bir A noktası seçin;

3) A noktasından dik l'yi β düzlemine indirin;

4) M noktasını belirleyin - dik l'nin düzlemle β buluşma noktası;

5) segmentin boyutunu belirleyin.

Pratikte, ilk adıma geçmeden önce, düzlemlerin projeksiyon pozisyonuna aktarılması gerektiğinden, sadece verilenden farklı olacak başka bir çözüm algoritmasının kullanılması tavsiye edilir.

Bu ek işlemin algoritmaya dahil edilmesi, diğer tüm noktaların istisnasız uygulanmasını basitleştirir ve bu da sonuçta daha basit bir çözüme götürür.

ÖRNEK 1. α ve β düzlemleri arasındaki mesafeyi belirleyin (Şekil 273).

KARAR. Xπ 2 / π 1 sisteminden x 1 π 1 / π 3'e geçiyoruz. Yeni düzlem π 3 ile ilgili olarak, α ve β düzlemleri bir projeksiyon pozisyonunda bulunur, bu nedenle yeni ön izler f 0α 1 ve f 0β 1 arasındaki mesafe istenen mesafedir.

Mühendislik uygulamasında, belirli bir mesafeye paralel ve ondan uzakta bir düzlem inşa etme problemini çözmek genellikle gereklidir. Aşağıdaki Örnek 2, böyle bir sorunun çözümünü göstermektedir.

ÖRNEK 2. Aralarındaki mesafenin d'ye eşit olduğu biliniyorsa, β düzleminin, verilen düzleme α (m || n) paralel çıkıntılarının oluşturulması gerekir (Şekil 274).

1. α düzleminde rasgele yatay h (1, 3) ve frontal f (1,2) çiziyoruz.

2. 1. noktadan itibaren dik olan l'yi α düzlemine (l "⊥ h", l "⊥ f") geri yükleriz.

3. Dikey l üzerinde rastgele bir A noktasını işaretleyin.

4. Segmentin uzunluğunu belirleyin - (konum, diyagramdaki düz çizgi l'nin metrik olarak bozulmamış yönünü gösterir).

5. Bir kenara düz bir çizgi (1 "A 0)" noktasından "segment \u003d d.

6. B 0 noktasına karşılık gelen l "ve l" noktaları B "ve B" çıkıntılarını işaretleyin.

7. B noktasından β (h 1 ∩ f 1) düzlemini çizin. İçin β || α, h 1 koşulu || h ve f 1 || f.

4. Kesişen çizgiler arasındaki mesafenin belirlenmesi.

Kesişen çizgiler arasındaki mesafe, kesişen çizgilerin ait olduğu paralel düzlemler arasındaki dikliğin uzunluğu ile belirlenir.

Karşılıklı olarak paralel α ve β düzlemlerini m ve f kesişen çizgilerinden çizmek için, f noktasından A (A ∈ m) noktasından ve B (B ∈ f) noktasından m doğrusuna paralel k doğrusuna bir p doğrusu çizmek yeterlidir ... Kesişen düz çizgiler m ve p, f ve k karşılıklı olarak paralel düzlemleri a ve β tanımlar (bkz. Şekil 248, e). Α ve β düzlemleri arasındaki mesafe, kesişen düz m ve f çizgileri arasındaki gerekli mesafeye eşittir.

Kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi belirlemenin başka bir yolunu önermek mümkündür; bu, ortogonal çıkıntıları dönüştürmek için bazı yöntemlerin yardımıyla, kesişen çizgilerden birinin bir projeksiyon konumuna aktarılması gerçeğinden oluşur. Bu durumda, düz çizginin bir izdüşümü bir noktaya dönüşür. Kesişen çizgilerin yeni projeksiyonları arasındaki mesafe (nokta A "2 ve segment C" 2 D "2) gerekli olanıdır.

İncirde. 275, [AB] ve [CD] segmentleri tarafından verilen, kesişen düz çizgiler a ve b arasındaki mesafeyi belirleme probleminin çözümünü gösterir. Çözüm aşağıdaki sırayla gerçekleştirilir:

1. Kesişen çizgilerden (a) birini, π 3 düzlemine paralel bir konuma aktarın; bunu yapmak için, projeksiyon düzlemleri sisteminden xπ 2 / π 1 yeni x 1 π 1 / π 3'e geçerler, x 1 ekseni düz çizginin a yatay izdüşümüne paralel çizilir. Bir "1 [A" 1 B "1] ve b" 1 belirleyin.

2. π 1 düzlemini π 4 düzlemi ile değiştirerek,

ve a "2 konumunda, π 4 düzlemine dik (yeni eksen x 2," 1 'e dik olarak gerçekleştirilir).

3. Düz çizgi b "2 - [C" 2 D "2] 'nin yeni bir yatay izdüşümü oluşturun.

4. A "2 noktasından düz C" 2 D "2 noktasına olan mesafe (segment (A" 2 M "2] (istenen olandır.

Kesişen hatlardan birinin çıkıntı pozisyonuna transferinin, a ve b hatlarının kapatılabildiği paralellik düzlemlerinin de çıkıntı pozisyonuna transferinden başka bir şey olmadığı unutulmamalıdır.

Aslında, a doğrusunu π 4 düzlemine dik bir konuma aktararak, a ve m (a ∩ m, m || b) düz çizgileriyle tanımlanan α düzlemi de dahil olmak üzere, a doğrusunu içeren herhangi bir düzlemin π 4 düzlemine dikey olmasını sağlıyoruz. ). Şimdi a ve kesişen çizgi b'ye paralel bir n çizgisi çizersek, o zaman paralelliğin ikinci düzlemi olan β düzlemini elde ederiz, bu düzlemde kesişen a ve b çizgileri çevrelenir. Β || α, ardından β ⊥ π 4.

, Yarışma "Ders Sunumu"

Sınıf: 11

Ders sunumu

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgi amaçlı kullanılır ve tüm sunum seçeneklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümü indirin.

Hedefler:

• öğrencilerin bilgi ve becerilerinin genelleştirilmesi ve sistematik hale getirilmesi;
• analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma becerilerinin geliştirilmesi.

Ekipman:

• multimedya projektörü;
• bilgisayar;
• görev metinleri içeren çalışma sayfaları

DERS SÜRECİ

I. Örgütsel an

II. Bilgi güncelleme aşaması (slayt 2)

Bir noktadan düzleme olan mesafenin nasıl belirlendiğini tekrarlıyoruz

III. Ders (3-15. slaytlar)

Bu derste, bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmanın çeşitli yollarına bakacağız.

İlk yöntem: aşamalı hesaplama

M noktasından α düzlemine olan mesafe:
- M noktasından geçen ve α düzlemine paralel olan düz çizgi a üzerinde uzanan keyfi bir P noktasından α düzlemine olan mesafeye eşittir;
- M noktasından geçen ve α düzlemine paralel olan, β düzleminde yatan rastgele bir P noktasından α düzlemine olan mesafeye eşittir.

Aşağıdaki görevleri çözelim:

№1. Küp A ... D 1'de C 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.

O 1 N segmentinin uzunluğunun değerini hesaplamaya devam ediyor.

№2. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir altıgen prizma A ... F 1'de, A noktasından DEA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Sonraki yöntem: hacim yöntemi.

ABCM piramidinin hacmi V'ye eşitse, M noktasından αABS içeren düzleme α arasındaki mesafe, ρ (M; α) \u003d ρ (M; ABC) \u003d formülüyle hesaplanır.
Problemleri çözerken, iki farklı şekilde ifade edilen bir rakamın hacimlerinin eşitliğini kullanırız.

Şu sorunu çözelim:

№3. Piramit DABC'nin AD kenarı, ABC tabanı düzlemine diktir. Eğer AB, AC ve AD kaburgalarının orta noktalarından geçen düzleme A'dan uzaklığı bulunuz.

Sorunları çözerken koordinat yöntemi M noktasından α düzlemine olan mesafe, ρ (M; α) \u003d formülü ile hesaplanabilir. , burada M (x 0; y 0; z 0) ve düzlem, ax + by + cz + d \u003d 0 denklemiyle verilir

Şu sorunu çözelim:

№4. Birim küp A ... D 1'de A1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Başlangıç \u200b\u200bnoktası A noktasında olan bir koordinat sistemi tanıtıyoruz, y ekseni AB kenarı boyunca, x ekseni AD kenarı boyunca ve z ekseni AA 1 kenarı boyunca ilerliyor. Ardından В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) noktalarının koordinatları
B, D, C 1 noktalarından geçen uçağın denklemini oluşturalım.

O zaman - dx - dy + dz + d \u003d 0 x + y - z - 1 \u003d 0. Bu nedenle, ρ \u003d

Bu tür sorunları çözerken kullanılabilecek aşağıdaki yöntem şudur: destek görevleri yöntemi.

Bu yöntemin uygulanması, teoremler olarak formüle edilen bilinen destek problemlerinin uygulanmasından oluşur.

Şu sorunu çözelim:

№5. Birim küp A ... D 1'de D 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.

Uygulamayı düşünün vektör yöntemi.

№6. Birim küp A ... D 1'de, A 1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Bu nedenle, bu tür problemleri çözmek için kullanılabilecek çeşitli yöntemlere baktık. Bunun veya bu yöntemin seçimi, belirli göreve ve tercihlerinize bağlıdır.

IV. Gruplar halinde çalışmak

Sorunu farklı yollarla çözmeye çalışın.

№1. Küpün kenarı A ... D 1 eşittir. C köşesinden BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

№2. Kenarlı normal bir tetrahedron ABCD'de A noktasından BDC düzlemine olan mesafeyi bulun

№3. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzgün üçgen prizma ABCA 1 B 1 C 1'de, A'dan BCA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

№4. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli dikdörtgen bir piramit SABCD'de, A'dan SCD düzlemine olan mesafeyi bulun.

V. Ders özeti, ev ödevi, yansıtma