Yüklemlerin birleşiminin doğruluk kümesi. Dayanak kavramı

Değişken içeren herhangi bir ifade, 0 veya 1 değerini alan bir ifadeye dönüştüğü değerleri değiştirirken bir yüklem olarak adlandırılır.

Tahminlere dahil edilen birçok farklı değer kümesi, yüklemin alanı olarak adlandırılır.

Yüklem şu değeri alır:

1) Kimlikler doğrudur - bu, içerdiği değişkenlerin herhangi bir değer kümesi için 1 değerini alan bir yüklemdir.

2) Kimlik yanlış, içerdiği değişkenlerin herhangi bir değer kümesi için 0 değerini alan bir yüklemdir.

3) Yürütülebilir, içerdiği değişkenlerin en az bir değer kümesinde 1 değerini alan bir yüklemdir.

Yüklemin 1'e eşit olduğu değerler kümesine yüklemin doğruluğunu belirlemek için alan adı verilir.

Predicates, değişkenlerin karşılık gelen değerleri için aynı değeri alırlarsa eşdeğer olarak adlandırılır.

Tüm eylemler, işlevlerde olduğu gibi yüklemler üzerinde de gerçekleştirilebilir. (neg, \\ /.,/ \\, \u003d\u003e,<=>)

İki yüklemin birleşimi aynı şekilde doğrudur, ancak ve ancak verilen her iki yüklem aynı şekilde doğruysa. (Diğer işlemler benzerdir)

Varoluşsal niceleyici, çok boyutlu yüklemlere uygulanabilir. Bir miktar belirleyicinin tek seferlik uygulama n değişkenler ve-boyutsal yüklem üretir (n-1) - boyutsal yüklem.

İzin vermek Bir (x, y) \u003d (x + y\u003e 1) sette tanımlanan çift yüklem R.

Sonra değişkenleri bağlayarak ondan x ve -desekiz söz alabilirsiniz:

1 "x"y (x + y\u003e 2) x ve -de toplamları ikiden fazla. "

2 "-de"x (x + y\u003e 2) - "Herkes için gerçek sayılar -de ve x toplamları ikiden fazla. "

3 $x$y (x + y\u003e 2) x ve -detoplamı ikiden fazla olan ”.

4 $-de$x (x + y\u003e 2) - "Gerçek sayılar var -de ve xtoplamı ikiden fazla olan ”.

5 "x$y (x + y\u003e 2) x toplamları ikiden fazla olan gerçek bir y sayısı var ”.

6 "-de$x (x + y\u003e 2) - "Herhangi bir gerçek sayı için -devar

gerçek Numara xtoplamlarının ikiden fazla olduğunu ”.

7 $x"y (x + y\u003e 2) x, herhangi bir gerçek sayı için -de toplamları ikiden fazla ”.

8 x (x + y\u003e 2) - "Gerçek bir sayı var -debu herkes için

gerçek Numara x toplamları ikiden fazla ”.

Niceleyiciler için De Morgan yasaları

2) ;

Nicelik belirteçleri bir bağlantı yoluyla taşıma yasaları

1) x ( Bir(x)B(x))=(xA(x))·( xB(x));

2)x(Bir(x)· P)=(xA(x))· P.

Ayrılma yoluyla niceleyicileri taşıma yasaları

1) = ;

2) = ;

Nicelik belirteçleri uygulama yoluyla taşıma yasaları

1) = ;

2) = ;

3) = ;

4) = ;

Niceleyiciler için değişme yasaları

Turing makinesi

Turing makinesi, fiziksel bir makine değil, matematiksel (hayal edilebilir) bir makinedir. Turing makinesi bir bant, bir kontrol cihazı ve bir okuma kafasından oluşur.

Bant hücrelere bölünür. Herhangi bir zamanda her hücre, dış alfabeden tam olarak bir karakter içerir A \u003d (bir 0, bir 1, ... bir n -1), n 2. Alfabenin bazı karakterleri VE boş olarak adlandırılırsa, şu anda boş bir karakter içeren herhangi bir hücreye boş hücre denir.

Her an kontrol cihazı kendisini belirli bir durumda bulur q isete ait Q (q 0, q 1, ..., q r -1), r 1... Q kümesine iç alfabe denir. Turing makinesinin çalışması program tarafından belirlenir. Program komutlardan oluşur. Her komut aşağıdakilerden biridir:

1) q i a j → q k a e;

2) q i a j → q k a e R;

3) q i a j → q k a e L.

Komut 1, içeriğin bir j kasette görüntülenen hücre silinir ve onun yerine sembol bir e (ile aynı olabilir bir j), araba yeni bir duruma geçer q k (önceki durumla aynı olabilir q i). Komut 2, komut 1'e benzer şekilde çalışır ve ek olarak okuma kafasını sağa bitişik hücreye kaydırır Komut 3, komut 1 ile aynı şekilde çalışır ve ek olarak okuma kafasını soldaki bitişik hücreye kaydırır.

Okuma kafası, bandın en sağdaki (sol) hücresinde bulunuyorsa ve sağa (sola) doğru hareket ederse, banda boş durumda yeni bir hücre eklenir.

Bir makine sözcüğü veya yapılandırması, biçimdeki bir sözcüktür

burada bir, q k Q.

Bir Turing makinesi son duruma ulaşırsa, buna durdurulmuş denir.

Bunu hesaplayan bir Turing makinesi varsa, bir fonksiyon Turing hesaplanabilir olarak adlandırılır.

Turing makinesinin bileşimi

Turing makinesi bir algoritma olduğundan, kompozisyon işlemleri Turing makinelerine uygulanabilir. Başlıca olanları ele alalım: çarpım, üs alma, yineleme.

Turing'in tezi. Belirli bir alfabede verilen bir fonksiyonun değerlerini, ancak ve ancak fonksiyon Turing hesaplanabilir olduğunda, yani uygun bir Turing makinesinde hesaplanabildiğinde bir algoritma varsa bulmak.
Turing makineleri T1 ve T2 verilsin, bazı ortak harici alfabe A \u003d (a0, a1, ..., am) ve dahili alfabeler Q1 \u003d (q0, q1, ..., qn) ve buna göre Q2 \u003d (q0 , q1, ..., qt). T2 makinesi tarafından bir T1 makinesinin bir kompoziti veya ürünü, aynı harici alfabe A \u003d (a0, a1, ..., am), dahili bir alfabe Q \u003d (q0, q1, ..., qn, qn + ile bir T makinesidir. 1, ..., qn + t) ve aşağıdaki gibi elde edilen bir program. Son q0 sembolünü içeren tüm T1 komutlarında, onu qn + 1 sembolü ile değiştiriyoruz. T1 komutlarındaki diğer tüm semboller değiştirilmeden bırakılır. T2 komutlarında, tersine, q0 sembolünü değiştirmeden bırakırız, ancak diğer sembollerin her birini qn + j sembolüyle değiştiririz. Bu şekilde değiştirilen tüm T1 ve T2 komutlarının toplanması, kompozitin programı veya T1 ve T2 makinelerinin ürünü olacaktır.
T1 makinesinin ve T2 makinesinin ürünü, T \u003d T1 T2 ile gösterilir veya
T \u003d T1 * T2.
Dolayısıyla, bu iki makinenin ardışık çalışması bir T makinesinin çalışmasına eşdeğer ise, bir T makinesi T1 ve T2 makinelerinin ürünüdür.

Özyinelemeli işlev sınıfları

Aşağıda, doğal sayılar kümesi altında Nseti anlayacağız N \u003d (0,1,2, ..., k, ...)

İzin vermek y \u003d f (x 1, x 2, ..., x n)- işlevi ndeğişkenler. Biz gösteririz D (y) - işlev alanı y \u003d f (x 1, x 2, ..., x n), E (y) - fonksiyon aralığı y \u003d f (x 1, x 2, ..., x n).

Fonksiyon y \u003d f (x 1, x 2, ..., x n)aşağıdaki durumlarda sayısal işlev olarak adlandırılır:

1) D (y) \u003d N × ∙ N ∙ ×… × ∙ N \u003d;

2) E (y) N

Fonksiyon y \u003d f (x 1, x 2, ..., x n)aşağıdaki durumlarda kısmen sayısal bir işlev olarak adlandırılır:

1) D (y) N × ∙ N ∙ ×… × ∙ N \u003d ;

2) E (y) N.

Aşağıdaki sayısal işlevleri en basit olarak adlandıracağız:

1) O (x) \u003d 0 - boş işlev

2) (x 1, x 2,…, x n) \u003d x m, 1 ≤ m ≤ n -argümanlarının değerini tekrarlayan fonksiyon;

3) S (x) \u003d x + 1- işlevi takip edin.

Şu üç işlemi tanımlıyoruz: süperpozisyon, ilkel yineleme ve minimizasyon.

Süperpozisyon işlemi

Bunu söyleyeceğiz n - yerel işlev φ gelen m - yerel işlev ψ ve n - yerel işlevler f 1, f 2, ..., f msüperpozisyon işlemini kullanarak, hepsi için x 1, x 2, ..., x neşitlik doğrudur:

φ (x 1, x 2,…, x n) \u003d ψ (f 1 (x 1, x 2,…, x n),…, f m (x 1, x 2,…, x n))

TANIM 5. Bir X kümesi üzerinde verilen yüklemlerin ayrışması, A (x) B (x) yüklemidir ve bunlar için gerçek bir önermeye dönüşür ve yalnızca X (x X) kümesinden en az birinin A ( x) ve B (x) gerçek bir ifadeye dönüşüyor.

Genişlik: \u003d "" auto \u003d ""\u003e

Yüklemlerin ayrışmasının doğruluk kümesinin TA ve TB kümelerinin birleşimi olduğu, yani T AB \u003d TA TB olduğu not edilebilir. Bu varsayımı kanıtlayalım.

1). İlk olarak, T A B kümesinin TA TB (T A B TA TB) kümesinin bir alt kümesi olduğunu kanıtlıyoruz. X \u003d a, TA B kümesinden gelişigüzel bir eleman, yani bir TA B olsun. Sonuç olarak, A (a) B (a) ifadenin "u" dur. Tanım olarak, A (a) B (a) - "u", yalnızca A (a) - "u" veya B (a) - "u" olduğunda. "

A (a) - u ise bir TA, B (a) - u ise bir TB. A (a) B (a) - ve sonra bir TA veya TV - olduğundan, bu bir TA TV anlamına gelir. a, TA B'nin keyfi bir öğesidir, bu nedenle, TA B kümesinin tüm öğeleri, TA TB kümesine, yani TA B TA TB'ye, vb. aittir.

2). TA TB kümesinin T AB (TA TB T AB) kümesinin bir alt kümesi olduğunu kanıtlayalım. X \u003d b, TA TB'de, TA'da veya TB'de A (c) - "u" veya B (c) - "u" A (c) B B (c) - TA TB'de, TA TB'den rastgele bir eleman olsun TA B'de "Ve"

Sonuç olarak, eğer TA TB'de ise, o zaman TA V.'de, çünkü T.Kn, TA TB'den keyfi bir elementtir, o zaman TA TB T A B, h.

1 ve 2. noktalardan, eşit kümelerin tanımına göre, eşitlik T A B \u003d TA TB'nin geçerli olduğu sonucuna varılır Sonuçta elde edilen kuralın birden fazla değişken içeren yüklemler için de geçerli olduğuna dikkat edin.

MİSAL. Dayanaklar: A (x) - "15'in x bölen" ve B (x) - "16'nın x bölen". Doğruluk seti A (x) - TA \u003d (1, 3, 5, 15), doğruluk kümesi B (x) -TV \u003d (1, 2, 4, 8, 16). Yüklemlerin ayrışmasının doğruluk kümesi T A B \u003d (1, 2, 3, 4, 5, 8, 15, 16).

TANIM 6. Bir X kümesi üzerinde tanımlanan bir A (x) yükleminin olumsuzlaması, aynı küme üzerinde tanımlanan bir A (x) ("A (x) değil") yüklemidir ve bunlar ve yalnızca X kümesindeki x değişkeninin değerleri için doğrudur ( A (x) yükleminin yanlış bir ifadeye dönüştüğü x X).

MİSAL. A (x) koşulu "x bir çift sayıdır". Yüklemin olumsuzlanması: A (x) "x tek sayıdır". A (x) - X \u003d (x, x N, x yükleminin tanım alanının

A (x) yükleminin doğruluk kümesi - 10'dan küçük tüm tek sayılar: TA \u003d (1, 3, 5, 7, 9). Örnek, TA \u003d X TA \u003d TA olduğunu, yani "A (x) değil" yükleminin doğruluk kümesinin, A (x) koşulunun doğruluk kümesine bir ekleme olduğunu gösterir. X \u003d TA

KUANTÖR, P (x) yüklemine göre, P (x) yükleminin doğruluk bölgesini karakterize eden bir ifade oluşturan mantıksal işlemlerin genel bir adıdır. Matematiksel mantıkta, evrensellik niceleyici (x), varoluş niceleyici (x) ve varoluşun benzersizlik niceleyicisi (! X) en yaygın olarak kullanılır.

"Tüm x için" ("her x için", "her x için") ifadesi genellik nicelik belirteci olarak adlandırılır ve x ile gösterilir. "Böyle bir x var" ("bazı x için", "en az bir x için", "böyle bir x var") ifadesi varoluşsal niceleyici olarak adlandırılır ve x ile gösterilir.

Genel niceleyici kullanılarak P (x) yükleminden elde edilen ifade (x X) P (x) olarak yazılır Varoluşsal niceleyici kullanılarak P (x) yükleminden elde edilen ifade (x X) P (x) olarak yazılır. "Bir ve yalnızca bir x X vardır, bunun için P (x), (! X X) P (x) anlamına gelir.

Çok basamaklı bir yüklemden bir ifade elde etmek için, her değişkenin nicelik belirteçleri ile bağlanması gerekir. Örneğin, P (x, y) bir çift yüklem ise, (x X) (y Y) P (x, y) bir ifadedir. MİSAL. P (x, y) yüklemi verilir: "x\u003e y". Bir ifade elde etmek için, her iki değişken de niceleyicilerle bağlanmalıdır: örneğin, (X) (y) x\u003e y veya (y) (x) x\u003e y.

KUANTUM İLE İFADENİN GERÇEĞİNİN TANIMI Genelliği ölçen bir ifadenin GERÇEĞİ ispatla belirlenir. Bu tür ifadelerin yanlış olduğundan emin olmak için (onları çürütmek için), bir karşı örnek vermek yeterlidir. ...

Varoluşsal niceleyici içeren bir ifadenin doğruluğu, belirli bir örnek kullanılarak belirlenir. Böyle bir ifadeyi çürütmek için ispatı gerçekleştirmek gerekir. Nicelik belirteçleri ne içindir?

ÇIKTI. TAHMİN, SUNUMU iki şekilde ele alır: 1). Tanım gereği, değişkenler yerine onların spesifik değerlerini yüklemin kapsamından ikame etmek; 2). Bir yüklemde bulunan değişkenleri niceleyicilerle bağlayın. Tahmin birden çok değişken içeriyorsa, her değişkeni bir nicelik belirteci ile bağlamanız gerekir.

MİSAL. A ifadesi verilsin: "Herhangi bir çift sayı 3'ün katlarıdır". İfade A: "Hiçbir çift sayı 3'ün katı değildir" veya ifade A: "Herhangi bir çift sayının 3'ün katları olduğu doğru değildir", diğer bir deyişle şu şekilde söylenebilir: "3'ün katı olmayan çift sayılar vardır". 8, 10, ...

İfadelerin yadsımasını nicelleştiricilerle inşa etmek için: 1) genelliğin nicelleştiricisini varoluşun niceleyicisiyle ve varoluşun nicelleştiricisini genelliğin niceleyicisiyle değiştirmek; 2) nicelik belirtecinden sonraki cümle bir olumsuzlama ile değiştirilir. (x X) A (x) \u003d (x X) A (x) (x X) A (x) \u003d (x X) A (x). Böylece iki denklik elde ederiz. Ya da verilen bir ifadenin önüne "bu doğru değil" sözlerini koyarlar.

Bu kural, ifade bir değil, birkaç niceleyici içeriyorsa da geçerlidir, örneğin: (x X) (x Y) A (x, y) \u003d (x X) (x Y) A (x, y) aşağıdaki formüller olumsuzlama oluşturmak için kullanışlıdır: A (x) B (x) \u003d A (x) B (x), A (x) B (x) \u003d A (x) B (x)

A (x) ve B (x) 'nin iki yüklemini düşünün. A (x) - "x: 6" olsun; B (x) - "x: 3". "Eğer x: 6 ise x: 3" yüklemlerinin çıkarımını oluşturuyoruz. A (x) - TA \u003d (6, 12, 18, ...) yüklemlerinin doğruluk kümeleri; B (x) - TV \u003d (3, 6, 9, 12, 15, 18, ...). "X: 6" nın her zaman "x: 3" ü izlediği gerçeğinden.

Bu durumda, B (x) yükleminin mantıksal olarak A (x) yükleminden geldiğini ve A (x) ve B (x) yüklemlerinin mantıksal bir sonucu olduğunu söylerler.

Bu durumda, bu tür yüklemlerin anlamının doğruluk kümesi, T A B \u003d X tanım alanı ile çakışır. Mantıksal sonuç ilişkisi her zaman A (x) \u003d\u003e B (x) ile gösterilir.

A (x) yüklemine B (x) için yeterli koşul denir ve B (x) yüklemine A (x) yüklemi için gerekli koşul denir. Bu ancak ve ancak TA TV ile mümkündür. ...

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-32.jpg" alt \u003d "(! LANG: Örnek. Cümle" x: 6 "\u003d\u003e" x : 3 "bu durumda aşağıdaki gibi okunur: böylece" x:"> Пример. Предложение «х: 6» => «х: 3» в этом случае читают так: чтобы «х: 3» – достаточно, чтобы «х: 6» , а чтобы «х: 6» необходимо, чтобы «х: 3» .!}

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-33.jpg" alt \u003d "(! LANG: Mantıksal takip: yeterli gerekli A (x) \u003d \u003e B (x), TA TV"> Логическое следование: достат. необход. А(х) => B(x), TА ТВ!}

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-34.jpg" alt \u003d "(! LANG: Örnek: Cümle" x: 4 "\u003d\u003e" x : 2 "bu durumda şu şekilde okuyun: böylece" x:"> Пример: Предложение «х: 4» => «х: 2» в этом случае читают так: чтобы «х: 2» – достаточно, чтобы «х: 4» , а для того чтобы «х: 4» необходимо, чтобы «х: 2» .!}

B (x), A (x) 'den ve A (x)' den B (x) 'den gelirse, A (x) ve B (x)' ye eşdeğer veya eşdeğer denir ve A (x) B (x) yazın. Bu ancak ve ancak TA \u003d TV ise mümkündür.

Bu durumda, A (x), B (x) için gerekli ve yeterli bir koşuldur ve B (x), A (x) için gerekli ve yeterli bir koşuldur. Ayrıca, A (x) \u003d\u003e B (x) ve B (x) \u003d\u003e A (x). MİSAL. A (x) - "x sayısı 9'a bölünür", B (x) - "x sayısının rakamlarının toplamı 9'a bölünür". Bir (x) B (x)

Bir teorem, doğruluğu kanıtlanabilen bir önermedir (önermedir). Teoremler genellikle çıkarımlar şeklinde formüle edilirler: eğer A (x) ise, her x için B (x), yani (xx) A (x) \u003d\u003e B (x).

Src \u003d "https://present5.com/presentation/3/-42558499_158059721.pdf-img/-42558499_158059721.pdf-39.jpg" alt \u003d "(! LANG: (xx) A (x) \u003d\u003e B ( x). Çoğu zaman A \u003d\u003e B (1) şeklinde yazılır"> (х х)А(х) => В(х). Чаще всего ее записывают так А => В (1) Для всякой теоремы (1) можно сформулировать предложение: «Если В, то А» - обратное данному. Но не всегда это предложение является теоремой.!}

Misal. "Açılar dikeyse eşittirler." Ters cümle: "Eğer açılar eşitse, dikeydir." veya "Dikdörtgen bir dikdörtgen ise, içindeki köşegenler eşittir." Bunun tersi doğru değil. Ne örneği?

Ama tersi cümle doğruysa o zaman denir. ters teorem. Örneğin: T 1: “Üçgen dikdörtgen ise. , hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir "Ters:" Bir üçgende bir kenarın karesi diğer ikisinin karelerinin toplamına eşitse, o zaman üçgen. - dikdörtgen. "Bu doğrudur, bu nedenle denir. Ters teorem.

Herhangi bir teorem için "Eğer A ise, B ise" teoreminde bir cümle formüle edilebilir: "A değilse, o zaman B değil". (eğer A, sonra B) Bu cümle denir. Bunun tersi. Her zaman bir teorem olacak mı? Misal. Bir önerme bir teoremse, o zaman denir. ters teorem. Eğer

Öyleyse, "Eğer A ise, o zaman B" teoremi için, ona zıt veya zıt bir önermeyi formüle edecekse, o zaman ispatlanmalı ve ancak o zaman çağrılacaktır. teorem, bunun tersi veya tersi. eğer gerçekleri kanıtlanmışsa

Herhangi bir teorem için "Eğer A ise, o zaman B" cümlesini formüle etmek mümkündür "Eğer B değilse, o zaman A değil" "B ise, o zaman A" - tam tersi. "Açılar dikey ise eşittir" ve "açılar eşit değilse dikey de değildir." Bu cümleler her zaman doğrudur, yani her zaman bir teoremdir. (A B B A). Bu denklik denir. karşı mevki yasası

Örnekler: 1. Dörtgen bir eşkenar dörtgen ise, köşegenleri karşılıklı olarak diktir. 2. Her terim çift sayı ise, toplam çifttir.

Bu öneriye denir. Bunun tersi. Her zaman bir teorem olacak mı? Misal. Bir önerme bir teoremse, o zaman denir. ters teorem. Öyleyse, "Eğer A ise, o zaman B" teoremi için, ona zıt veya zıt bir öneri formüle edersek, o zaman kanıtlanmalı ve ancak o zaman çağrılacaktır. teorem, bunun tersi veya tersi.

"X bir asal sayıdır" ifadesini düşünün. X yerine 3, 4 sayılarını değiştirerek, ifadeler elde ederiz ve ilk durumda bu doğru ve ikinci durumda - yanlış. Dolayısıyla, her doğal sayı, basit olup olmamasına bağlı olarak "I" ve "L" nin anlamlarına karşılık gelir.

Bu nedenle, "x bir asal sayıdır" ifadesi, (I, L) kümesindeki değerlerle doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan tek değişkenli (tek basamaklı) bir işlevi tanımlar.

Benzer şekilde, "x ifadesinde yer değiştirme Benzer şekilde," x ve y z'nin ebeveynleridir "ifadesi, kümedeki (I, L) değerlere sahip bir grup insan üzerinde üç değişkenli (üçlü) bir işlevi tanımlar. Х1 + х2 +… + хn \u003d 0 ifadesi, kümedeki değerlerle (,) gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlanan n değişkenli (n-yerel) bir işlevi tanımlar:

Bu işlevlere yüklemler denir.

Tanım 1. Bir M kümesindeki n-ary yüklemi, bağımsız değişkenleri bir M kümesinden değerler alan ve değerlerin aralığı bir küme (I, L) olan n-ary bir fonksiyondur.

Kısaca, bir M kümesindeki n-ary yüklemi, Mn → (U, A) tipinde bir fonksiyondur.

Yüklemleri belirtmek için ya büyük Latin harfleri ya da semboller kullanılır: A (x, y), B (x), P (x1, x2, ..., xn), vb. (A, B, P tahmin sembollerine, bu tahminlerin bağlı olduğu değişkenlerin parantez içindeki sembollerini ekleyin). Bu durumda, örneğin, A (10, 8) ifadesi, A (x, y) yükleminin x ve y değişkenlerine sırasıyla 10 ve 8 değerleri atandığında elde edilen bir (sabit) ifadeyi ifade etmeye hizmet eder.Bazı yüklemler bunlar kullanılarak yazılır veya teoride belirli bir anlamı olan diğer işaretler, örneğin: x \u003d y, x\u003e y, x + y \u003d z, vb.

N \u003d 1 için n-ary yüklemine tekli, n \u003d 2 - ikili için ve n \u003d 3 - üçlü için denir.

Tanım 2. P (x1, x2, ..., xn), M kümesinde tanımlanan bir n-ary yüklemi olsun. Bu yüklemin doğruluk kümesi, bu tür sıralı n-oksların (x1, ..., xn) toplamıdır ki bunun için P (x1 , x2, ..., xn) I değerini alır.

Tanım 3. Aynı M kümesinde tanımlanan iki P (x1, ..., xn) ve Q (x1, ..., xn) yüklemine, x1'in herhangi bir değeri için aynı I veya A değerlerini alırlarsa, M kümesinde eşdeğer denir. , ..., xn M kümesinden

Böylece, bir M kümesindeki iki yüklem P (x1, ..., xn) ve Q (x1, ..., xn), bu yüklemlerin doğruluk kümeleri çakışırsa, bir M kümesinde eşdeğer olarak adlandırılır.

Tanım 4. Bir M kümesi üzerinde tanımlanan bir P (x1, ..., xn) yüklemi, M kümesindeki herhangi bir elemanı x1, ..., xn yerine değiştirdikten sonra, I (L) değerini alırsa, M'de aynı şekilde doğru (aynı şekilde yanlış) olarak adlandırılır. ), yani bu yüklemin doğruluk kümesi Mn'dir (boş).

Önermeler, önermeler gibi, And ve A değerlerini alır, bu nedenle, önermeler mantığına benzer mantıksal işlemler onlar üzerinde gerçekleştirilebilir.

Misal. P (x) ve Q (x), M kümesinde tanımlanan iki tekli yüklem olsun. O halde P (x) Ù Q (x), M kümesinin bir yüklemidir. Bu, sadece M'nin bu elemanları için doğrudur, hem P (x) hem de Q (x) 'nin doğru olduğu, yani P (x) Ù Q (x) yükleminin doğruluk kümesi, P (x) ve Q (x) yüklemlerinin doğruluk kümelerinin kesişimine eşittir.

P (x) U Q (x) benzer şekilde tanımlanır. P (x) U Q (x) yüklemi aynı M kümesinde verilir ve bunlar ve yalnızca P (x) ve Q (x) yüklemlerinden en az birinin doğru olduğu M'nin x öğeleri için doğrudur, yani. P (x) U Q (x) yükleminin doğruluk kümesi, P (x) ve Q (x) yüklemlerinin doğruluk kümelerinin birleşimine eşittir.

Yüklem M kümesi üzerinde tanımlanır ve bunlar ve yalnızca P (x) 'in yanlış olduğu M'nin x öğeleri için doğrudur. Başka bir deyişle, yüklemin doğruluk kümesi, P (x) yükleminin doğruluk kümesinin M'deki tamamlayıcısıdır.

Benzer şekilde, yüklemler P (x)? Q (x), P (x) Û Q (x).

Çok basamaklı yüklemler üzerindeki önermeler mantığının işlemleri benzer şekilde tanımlanır. Sadece hangi değişkenlerin aynı harflerle etiketlendiğini ve hangilerinin farklı olduğunu takip etmeniz gerekiyor. Bunu örneklerle açıklayalım.

P (x, y) ve Q (x, y), M kümesinde tanımlanan iki iki basamaklı yüklemler olsun. O zaman P (x, y) Ù Q (y, z), M kümesinde üç basamaklı bir yüklemdir, değeri alır Ve bunlar ve yalnızca sıralı üçlüler (x, y, z) için, P (x, y) ve Q (y, z) 'nin eşzamanlı olarak I değerlerini aldığı M kümesi.

Ayrıca P (x, y) Ù Q (x, y) 'nin çift olduğuna ve P (x, y) Ù Q (z, v)' nin M kümesinde tanımlanan dörtlü yüklemler olduğuna dikkat edin.

P (x) ve Q (x) iki tekli yüklem ise, bu durumda P (x) Ù Q (x) ve P (x) Ù Q (y) yüklemlerinin karıştırılmaması gerekir. İlki tek ve ikincisi çift yüklemlerdir.

Yüklem mantığındaki niceleyiciler olarak adlandırılan ve yüklem mantığını önermeler mantığından daha zengin yapan bir dizi işlemi ele alalım.

Tanım 5. P (x), M kümesinde tanımlanan tek-basamaklı bir yüklem olsun. Sembolle, P (x), M kümesinin herhangi bir x öğesi için I değerini alırsa doğru olan ve tersi durumda yanlış olan bir ifadeyi belirtiriz, yani. –– P (x) yükleminin doğruluk kümesi tüm M kümesiyle çakışırsa doğru bir ifade (P (x), M kümesinde aynı şekilde doğru olan bir yüklemdir); aksi takdirde yanlış bir ifadedir.

İfadedeki bölüme genelliğin nicelleştiricisi (evrensellik) denir. İfade "herhangi bir x P (x) için" okur. Sembol, all (İngilizce), allе (Almanca) kelimesinin ters çevrilmiş ilk harfidir.

P (x), doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan "x bir asal sayıdır" yüklemi olsun. O zaman ifade (x asal sayıdır) doğal sayılar kümesinde yanlıştır. Aynı ifade (x bir asal sayıdır), asallar kümesi için de geçerlidir.

Tanım 6. P (x), M kümesinde tanımlanan tek-basamaklı bir yüklem olsun. $ Simgesiyle, M kümesi, P (x0) \u003d I olacak şekilde bir x0 öğesi içerdiğinde doğru olan ve tersi durumda m yanlış olan bir ifadeyi belirtiriz. yani, P (x) yükleminin doğruluk kümesi boş değilse $ doğru bir ifadedir; aksi takdirde $ yanlış bir ifadedir.

$ İfadesi "P (x) gibi bir x vardır" okur ve $ ifadesinin $ x kısmına varoluşsal nicelik belirteci denir. Örneğin, doğal sayılar kümesindeki $ x (x bir asal sayıdır) ifadesi doğru, gerçek sayılar kümesindeki $ ifadesi yanlıştır.

$ Sembolü var (İngilizce), existieren (Almanca), exister (Fransızca) kelimesinin ters çevrilmiş ilk harfidir.

Açıklama 1. Nicelik belirtecinin kullanılması, tekli yüklemleri ifadelere dönüştürür (x'ten bağımsız). Nicelik belirteçleri, çok sayıda değişken içeren herhangi bir yüklemeye tam olarak aynı şekilde uygulanır. Bir n –– yerel yüklemine (n\u003e 0 için) nicelik belirteci uygulamanın bir sonucu olarak, (n - 1) –– yerel bir yüklem elde ederiz.

Açıklama 2. Nicelik belirteçleri aynı koşula birkaç kez uygulanabilir. Örneğin, x'teki varoluşsal niceleyiciyi P (x, y) yüklemine uygulayarak, y değişkenindeki varoluşsal niceleyiciyi veya genellik niceleyiciyi tekrar uygulayabileceğimiz bir tekli koşulu $ elde ederiz. Sonuç olarak, ifadeyi alıyoruz

$ y ($ veya y ($.

Parantezler genellikle ihmal edilir ve ifadeleri verir

$ y $ veya y $.

Açıklama 3. Özdeş nicelik belirteçleri yeniden düzenlenebilir, böylece eşdeğer ifadeler elde edilebilir, yani gerçek eşdeğerler.

Olumsuzlama, birleştirme, ayırma, ima ve eşdeğerlik mantıksal işlemlerini kullanarak, orijinal yüklemlerden yeni yüklemler oluşturulabilir.

Bir yüklemin olumsuzlanması... P (x 1, x 2, ..., x n) yükleminin M 1, M 2, ..., M n kümeleri üzerinde tanımlanmasına izin verin. R (x 1, x 2, ..., xn) yüklemine P (x 1, x 2, ..., xn) yükleminin olumsuzlanması denir ancak ve ancak, aynı demetler için (a 1, a 2 , ..., an), burada а 1 M 1, а 2 M 2, ..., ve M n, P (a 1, a 2, ..., an) ifadesi R (a 1, a 2, ..., an) - yanlış ve tersi. Tanımlama

R (x 1, x 2, ..., x n) ù P (x 1, x 2, ..., x n)

Örneğin, "n bir çift sayıdır" yüklemi, tamsayılar kümesi üzerindeki "n tek sayıdır" yükleminin olumsuzlamasını ifade eder.

Yüklemlerin birleşimi... M 1, M 2, ..., M n iki n - yerel yüklemler P (x 1, x 2, ..., xn) ve R (x 1, x 2, ..., xn) ... Bu yüklemlerin birleşimine yüklem denir

Q (x 1, x 2, ..., x n) P (x 1, x 2, ..., x n) R (x 1, x 2, ..., x n),

bu, aynı demetler için yalnızca her iki yüklem P (x 1, x 2, ..., x n) ve Q (x 1, x 2, ..., x n) doğru ise doğrudur.

Örneğin, x, y'nin gerçek sayılar olduğu "x 2 + y 2 1" ve "x 0" yüklemlerinin birleşimi, "birim çemberin sağ yarısının noktaları" yüklemini belirler (bkz. Şekil 2.2).

Yüklemlerin ayrılmasıP (x 1, x 2, ..., xn) ve R (x 1, x 2, ..., xn), yeni bir S (x 1, x 2, ..., xn) \u003d P ( x 1, x 2, ..., xn) R (x 1, x 2, ..., xn), bunlar için "false" değerine sahip ve sadece M 1 M 2 ... M n'den olanlar, bunun için her iki yüklemi de P (x 1, x 2, ..., xn) ve R (x 1, x 2, ..., xn) yanlıştır. Şekil 2.3, "x 2 + y 2 1" ve "x 0" - (gölgeli alan) yükleminin ayrılmasını göstermektedir.

Yüklemlerin çıkarımıP (x 1, x 2, ..., xn) ve R (x 1, x 2, ..., xn), yeni bir T (x 1, x 2, ..., xn) \u003d P ( x 1, x 2, ..., xn) R (x 1, x 2, ..., xn), bunlar için "yanlış" değerine sahiptir ve yalnızca M 1 M 2 ... M n'den olanlar, bunun için P (x 1, x 2, ..., xn) yüklemi doğru ve R (x 1, x 2, ..., xn) yüklemi yanlış. Örneğin, "n, 4 ile bölünebilir" "n, 2'ye bölünebilir" ifadesi bir yüklemdir: "n, 4'e bölünebiliyorsa, o zaman n, 2'ye bölünebilir".

Yüklemlerin denkliğiP (x 1, x 2, ..., xn) ve R (x 1, x 2, ..., xn), yeni bir V (x 1, x 2, ..., xn) \u003d P ( x 1, x 2, ..., xn) R (x 1, x 2, ..., xn), bunlar için "true" değerine sahiptir ve yalnızca M 1 M 2 ... M n'den olanlar, P (x 1, x 2, ..., xn) yükleminin ve R (x 1, x 2, ..., xn) yükleminin aynı değere sahip olduğu veya her ikisinin de "doğru" olduğu veya her ikisinin de "yanlış" olduğu. Aynı kümeler üzerinde verilen iki yüklem denir eşdeğereğer bunlara dahil edilen tüm özne değişkenleri için bu tahminler aynı değerleri alır. Eşdeğerlik de denir mantıksal eşdeğerlik... Örneğin, P (n) \u003d "n 6 ile bölünebilir" ve R (n) \u003d "n 2 ile bölünebilir ve n 3 ile bölünebilir" tahminlerinin eşdeğerliği V (n) \u003d P (n) R (n) yüklemidir: "eğer n, 6'ya bölünebilir, o zaman n, 2 ve 3 "ile bölünebilir. P (n) ve R (n) yüklemleri mantıksal olarak eşdeğerdir.

Mantıksal işlemlerin yanı sıra niceleyiciler adı verilen işlemler de önemli bir rol oynar.

Evrensel niceleyicip (x) yüklemini şu ifadeye dönüştüren bir işlem vardır: "tüm x'ler P (x) özelliğine sahiptir". Evrensellik nicelik belirteci işareti "". Şu ifadelerin yerini alır: "herkes için", "herkes", "herhangi biri" vb. X: P (x) notasyonu şu şekilde okunur: "P x'ten gelecek şekilde tüm x'ler için". Örneğin, "P (x) \u003d x\u003e 0, burada x gerçek bir sayıdır", "x pozitif bir sayıdır" yüklemidir. O zaman x: P (x) "her sayı pozitiftir" ifadesidir. Bu yanlış bir ifadedir. Eğer x herhangi bir doğal sayı ise (x N), o zaman x: P (x) "her doğal sayı pozitiftir" ifadesidir - gerçek bir ifade.

Evrenselliğin nicelleştiricisi, tekli ifadelerin bir dizi birleşiminin genelleştirilmesi olarak görülebilir. M, zar atarken düşebilecek noktalar kümesi olsun, yani. M \u003d (1,2,3,4,5,6) ve P (x) - yüklem: "bir zar atarken, x noktaları bir kez düşer", burada x M. Evrensel niceleyicinin kullanımı karmaşık bir ifade yerine P (1) izin verir P (2) P (3) P (4) P (5) P (6) eşdeğer kompakt ifadeyi yazın x: P (x), x M: "bir zar atarken, ilk altı doğal sayıdan herhangi biri bir kez görünebilir ".

Varlık niceleyicip (x) yüklemini şu ifadeye dönüştüren bir işlem vardır: "M'den P (x) özelliğine sahip en az bir x vardır". Varlık nicelik belirteci işareti "". İfadelerin yerini alır: "en az bir tane var", "var", "bir tane" vb. X: P (x) notasyonu şu şekilde okunur: "P, x'ten gelecek şekilde en az bir x vardır". Örneğin, P (x) bir yüklemdir: "x bir öğrencidir", burada x, Moskova sakinleri kümesinin bir öğesidir. O halde x: P (x) ifadesi "Moskova'da ikamet edenlerden en az biri öğrenci" ifadesidir.

Varoluşsal niceleyici, tekli ifadelerin bir dizi ayrışmasının bir genellemesi olarak görülebilir. Bir M \u003d (a 1, a 2, ..., a n) kümesi verilmişse ve üzerinde P (x) yüklemi tanımlanmışsa, o zaman

P (bir 1) P (bir 2) ... P (bir n) (x M): P (x).

Nicelik belirteçleri, de Morgan yasalarına benzer özelliklere sahiptir:

ù (x: P (x)) x: ù P (x),

ù (x: P (x)) x: ùP (x).

Nicelik belirteçleri, pratikte sıklıkla kullanılan kümeler arasındaki bir dizi ilişkiyi ifade etmek için kullanılabilir. Örneğin, "tüm x nesneleri bu setP (x) özelliğine sahip olmak ayrıca R (x) özelliğine sahiptir "resmi olarak şu şekilde yazılabilir; x: (P (x) R (x)).

P (x) 'den x: P (x) veya x: P (x)' e geçiş denir miktarveya değişkenleri bağla... Bağlanma değişkeni aslında bir değişken değildir, yani x: P (x) 'den y: P (y)' ye veya x: P (x) 'den y: P (y)' ye gitmek ifadelerin doğruluğunu değiştirmez. Bir değişkeni çok basamaklı bir yüklem üzerine asmak, içindeki serbest değişkenlerin sayısını azaltır ve onu daha az değişkenden bir yüklemeye dönüştürür.

Bir örneğe bakalım. Sayılar kümesinde, çift yüklem P (x, y) \u003d "x sayısı y sayısına bölünür" verilir. Bir değişkeni bağlayarak, aşağıdaki tek konumlu tahminleri elde edebilirsiniz:

X: P (x, y) \u003d "her sayı y'ye bölünebilir" - yanlış;

X: P (x, y) \u003d "y'ye bölünebilen bir sayı var" - true;

Y: P (x, y) \u003d "x sayısı herhangi bir sayı ile bölünebilir" - yanlış;

Y: P (x, y) \u003d "x'e bölünebilen bir sayı var" - doğru.

Bu yüklemin her iki değişkenini birbirine bağlayarak aşağıdaki ifadeleri alırız:

X, y: P (x, y) \u003d "her sayı herhangi bir sayıya bölünebilir" - yanlış bir ifade,

X, y: P (x, y) \u003d "herhangi bir sayıyı bölen bir sayı vardır" - doğru, çünkü bu sayı 1,

X, y: P (x, y) \u003d "herhangi bir sayıya bölünebilen bir sayı var" - yanlış bir ifade,

X, y: P (x, y) \u003d "bir sayıya bölünebilen bir sayı vardır" - gerçek bir ifade.

Gayri resmi olarak bir yüklem, anlamı kümedeki özne değişkenlerinin değerlerine bağlı olan bir ifade olarak tanımlanabilir. Myüklemin tanımlandığı.

a) P (x): “xbir asal sayı var ”;

(Burada ve bundan sonraki her yerde, yüklemi tanımlamak için, aşağıda ayrıntılı olarak açıklanan kısa bir gösterim kullanacağız: " xbir asal sayı var. ")

b) D (x, y) : “xtamamen bölünmüştür y”;

c) R (x, y): “x > y”.

Bu örnekler için bir konu kümesi olarak, özellikle a), b) - örneklerinde herhangi bir sayı kümesi düşünülebilir. M= Í ve c) - M= Ñ .

Daha kesin olarak yüklem bir eşleme olarak tanımlanabilir n- setin derecesi Myüklemin yeri veya birlikteliği olarak adlandırılan iki öğeli bir kümeye B = {1, 0}

Bir yüklemle ikame edildiğinde bir dizi değerin konu değişkenleri yerine mantıksal bir ifade elde ederiz (yani, a). Dolayısıyla, bir yüklem, gerçeği nesne değişkenlerinin farklı değerlerinin ikame edilmesiyle belirlenen bir değişken ifadedir (veya bir ifade sistemi).

Tahminler kümeden değerler aldığından B , daha sonra bunlar için mantıksal işlemler tanımlanır. Ek olarak, evrensellik beyanının işlemleri ve varoluş beyanı tanıtıldı.

Evrenselliğin işlem doğrulaması, ifade biçimine karşılık gelir P (x)ifade (olarak oku, P (x) herkes için doğru x çokluğun Myüklemin tanımlandığı). İfade, ancak ve ancak ifade P (a) herhangi bir öğe için doğru.

Varoluş operasyonu iddiası, ifade formu ile örtüşür. P (x)ifade (gibi oku, böyle x çokluğun Mbunun için ifade P (x) doğru). İfade, ancak ve ancak ifade P (a) en az bir öğe için doğrudur.

"Ve $" işaretleri evrensellik ve varoluşun niceleyicileri olarak adlandırılır (Latince'den çeviride bir nicelik belirteci, niceliğin bir tanımıdır). İfade biçiminden geçiş P (x)deyimlere veya adı verilen nicelik belirteci asılı veya değişken bağlama x (bazen değişkeni ölçerek x). Nicelik belirleyicinin asıldığı değişken bağlı olarak adlandırılır; bağlı olmayan değişken ise serbest olarak adlandırılır. Yüklem ifadelerinde bağlı ve serbest değişkenlerin anlamı farklıdır. Serbest değişken, çeşitli değerleri alabilen sıradan bir değişkendir. Mve ifade P (x) - değere bağlı olarak değişken ifadesi x... İfadeler ve bir değişkenden bağımsızdır x ve sabit Pve Mçok kesin bir anlamı var. Esasen ilişkili olan değişkenler sadece matematiksel mantıkta bulunmaz. Örneğin, ifadelerde veya değişkende x bağlı, sabit f ilk ifade belirli bir sayıya eşittir ve ikincisi bir fonksiyondur ave b.

Bu nedenle, ifadeler kümenin bireysel öğelerinin özellikleri hakkında konuşmaz. Mve setin kendisinin özellikleri hakkında M... Bu ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı, bunlara dahil edilen özne değişkeninin nasıl belirlendiğine bağlı değildir ve örneğin başka bir özne değişkeni ile değiştirilebilir. yve orijinal ifadelerle aynı anlama ve aynı doğruluk değerlerine sahip ifadeler alın.

Genel olarak n-evrenselliğin veya varoluşun ifadesinin işlemleri gerçekleştirilebilirse k kez (niceleyicinin asılı olduğu değişkenlerin seçim sırası, tekrarları hariç herhangi biri olabilir) ve ifadeyi alın

nerede evrensellik veya varoluşun nicelleştiricisini belirtir. İfade formundaki (1) değişkenler bağlıdır ve serbesttirler.