КУРСОВА РОБОТА

на тему:

«Практичне застосування властивостей чудових кривих»

Вступ

Актуальність теми полягає в демонстрації застосування математичних знань у практичній діяльності людини. В курсі вивчення аналітичної геометрії не передбачено розгляд властивостей чудових кривих, які широко використовуються в житті.

гіпотеза : Використання даного матеріалу розширює кругозір учнів по кривим і їх властивостями, і показує їх практичне застосування в житті людини.

Мета даної роботи : Зібрати матеріал для застосування його під час самостійного вивчення чудових кривих.

завдання : На допомогу учню. Використовуючи мінімум часу, принести максимум користі.

Практична значимість роботи: Я вважаю, що моя робота стане в нагоді студентам доступно і наочно розібратися в матеріалі. Покаже практичне застосування властивостей чудових кривих, навчити будувати криві.

вибір теми

При сучасному рівні розвитку технічної думки є необхідність в знаннях про чудових кривих. Вони не такі вже й рідкісні в природі, мають практичне застосування в житті людини. Знання їх чудових властивостей використовується в різних механізмах, що використовуються людиною в житті.

Я вибрала цю тему, тому що вважаю її, цікавою і змістовною, розвиваючої пізнавальний інтерес до аналітичної геометрії, що відкриває практичне застосування геометрії в життя. Використання даного матеріалу на лекціях геометрії розширює кругозір учнів по кривим, що вивчаються за програмою. У різних розділах математики і на різних етапах вивчення ми зустрічаємося з кривими, як третього, так і другого порядку. Але, ніде не говориться про чудові властивості даних кривих, а тим більше про їх практичному застосуванні. Я вважаю, що дуже важливо учням знати чудові властивості даних кривих, які широко застосовуються в житті. Вивчаючи і навіть просто знайомлячись з цими властивостями, учні бачать дійсно практичне застосування геометрії.

Для цього я познайомилася з матеріалом про чудових кривих і їх властивості в різних посібниках і енциклопедіях з математики.

1. З історії розвитку вчення про лінії

Поняття лінії виникло в свідомості людини в доісторичні часи. Траєкторія кинутого каменя, обриси квітів і листя рослин, звивиста лінія берега річки і інші явища природи з давніх-давен привертали уваги людей. Спостережувані багаторазово, вони послужили основою для поступового встановлення поняття про лінії. Але потрібен був значний проміжок часу для того, щоб наші предки стали порівнювати між собою форми кривих ліній. Перші малюнки на стінах печер, примітивні орнаменти на домашнього начиння показують, що люди вміли не тільки відрізняти пряму від кривої, але і розрізняти окремі криві. Пам'ятники глибокої давнини свідчать про те, що у всіх народів на деякій мірі їх розвитку були поняття прямої і їх кола. Для побудови цих ліній використовувалися найпростіші інструменти.

Однак лише з виникненням математичних теорій стало розвиватися вчення про лінії. Грецькі вчені створили теорію ліній другого порядку. Ці лінії розглядалися як перетин конуса площиною, внаслідок чого в давнину їх називали конічними перетинами. Конічні перетину вперше розглядав Менехм, який жив у IV столітті до н.е..Первое систематичний виклад теорії цих ліній дав Аполлоній Пергський (III-II ст до н.е.) у своєму творі «Конічні перетини», яке майже цілком дійшло до нас. У пошуках вирішення різних завдань грецькі вчені розглядали і деякі трансцендентні лінії.

У середньовічну епоху важливе досягнення грецьких вчених були забуті. Математична наука знову звернулася до вивчення кривих тільки в VII столітті. Для дослідження ліній першорядне значення мало відкритішою Декартом і Ферма методу координат сприяв виникненню обчислення нескінченно малих. Метод координат в з'єднанні з аналізом нескінченно малих дозволив перейти до дослідження ліній загальним способом. Різноманітні проблеми механіки, астрономії, геодезіі, оптики, виникнувши в VII-VIII століття, привели до відкриття багатьох нових ліній і вивчення їх геометричних механічних властивостей. Цими питаннями з великим ентузіазмом займалися найбільші математики епохи - Декарт, Гюйгенс, Лейбніц, брати Бернуллі.

Наступний важливий крок у вивченні ліній був зроблений Ньютоном, який почав розробку теорії кривих третього порядку. Згодом були поставлені завдання: дослідити криві четвертого і вищих порядків, створити загальну теорію алгебраїчних кривих на площині, приступити до систематичного вивчення алгебраїчних поверхонь, починаючи з поверхні другого порядку. У рішенні останнього завдання великий внесок зробив знаменитий математик VIII Леонард Ейлер, академік Петербурзької академії наук. Він описав перший посібник з аналітичної геометрії, в якому містилося теорія ліній і поверхонь другого порядку.

. Чудові лінії третього порядку

Всі прямі і криві другого порядку (кола, еліпси, параболи, гіперболи) є окремими випадками кривих третього порядку.

У загальному випадку рівняння кривої лінії третього порядку можна записати так: х 3 + а 1 у 3 + 3а 2 х 2 у + 3а 3 ху 2 + 3а 4 х 2 + 3а 5 у 2 + 3а 6 ху + 3а 7 х + 3а 8 у + а 9 \u003d 0.

Передбачається, що коефіцієнти одночасно в нуль не звертаються (в іншому випадку вийшло б рівняння другого ступеня) Якщо все не розпадаються лінії другого порядку вичерпуються окружністю, еліпсом, гіперболою, параболою, то безліч ліній третього порядку є більш багатим - воно містить. Понад 70 видів цих ліній. Тут розглядаються тільки деякі з них, чудові за своїми властивостями і застосуванням.

Декартов лист

. Особливості форми. декартових листом називається крива 3-го порядку, рівняння якої в прямокутній системі має вигляд

Іноді зручно користуватися параметричними рівняннями декартова листа, які можна отримати, вважаючи y= tx, приєднуючи до цієї рівності рівність (1) і вирішуючи отриману систему відносно х і у, в результаті матимемо:

звідки випливає, що декартів лист є раціональною кривою.

Зауважимо ще, що полярне рівняння декартова листа має вигляд

(3)

координати х і у входять в рівняння декартова листа симетрично, звідки випливає, що крива симетрична щодо бісектриси у \u003d х. Звичайне дослідження на особливі точки призводить до висновку, що початок координат є вузловою точкою декартова листа. Рівняння дотичних до алгебраїчної кривої в її особливій точці, що збігається з початком координат, можна отримати, як відомо, прирівнюючи нулю групу членів нижчого ступеня з рівняння цієї кривої. У нашому випадку маємо З аху \u003d 0,звідки отримаємо х \u003d 0 і у \u003d 0 - шукані рівняння дотичних в вузловій точці. Ці дотичні збігаються з координатними осями і, отже, на початку координат крива перетинає сама себе під прямим кутом. Легко бачити, що в першому координатному куті крива робить петлю, яка перетинається з прямою у \u003d х в точці

Точки цієї петлі, в яких дотичні паралельні координатним осях, мають координати

І (cм. Рис. 1)

Для остаточного висновку про форму кривої слід ще знайти асимптоти Замінюючи в рівнянні кривої у на прирівняємо нулю в отриманому рівнянні коефіцієнти двох членів з вищими ступенями х. отримаємо

і b \u003d - а.Таким чином, декартів лист має асимптоту

у \u003d - х - а; отже, у 2-му і 4-му координатних кутах гілки декартова листа йдуть в нескінченність.

Рис. 1

Часто розглядають повернену на 135 градусів криву. Її рівняння виглядають так. У прямокутній системі: , де

Параметричний:

Висновок рівнянь поверненою кривої:

Систему координат XOY перетворять в систему координат UOV, яка виходить поворотом осей OX та OY за годинниковою стрілкою на кут і переорієнтацією осі OX в протилежному напрямку:

Вираз старих координат XY через нові UV виглядає так:

Після підстановки виразів старих координат через нові рівняння декартова листа перетворюється до наступного вигляду: .

Вводимо параметр, останнє рівняння перепишеться так:

або .

Замінюємо змінні u і v на звичні x і y і отримуємо рівняння декартового листа в новій системі координат:

Підставивши в рівняння попереднє отримуємо рівняння декартова листа в полярній системі координат:

Вирішуючи даний вираз щодо ρ, отримуємо:

.

2. Властивості. Згідно з теоремою Маклорена, якщо в трьох точках кривій алгебри 3-го порядку, що лежать на одній прямій, провести дотичні до цієї кривої, то точки їх перетину з кривою лежатимуть також на прямій лінії. Стосовно до декартову листу ця теорема доводиться просто. Виведемо з цією метою попередньо умова перебування трьох точок декартова листа, що відповідають значенням t 1 , t 2 і t 3 параметра, на одній прямій. Якщо рівняння прямої має вигляд y= kx+ b, то значення параметра, відповідні точкам перетину цієї прямої з кривою, повинні задовольняти системі

Система ця призводить до рівняння

коріння якого і будуть шуканими значеннями t 1 , t 2 і t 3 параметра, звідки випливає, що

Це рівність і є умовою перебування трьох точок M 1 (t 1) , M 2 (t 2 ), М 3 (t 3) декартова листа на одній прямій.

Маючи в своєму розпорядженні цією умовою, покажемо справедливість теореми Маклорена для декартово листа. Дійсно, дотичну в точці M 1 (t 1 ) можна розглядати як пряму, яка перетинає декартів лист в двох співпадаючих між собою точках, для яких t 2 = t 1 , і в третій точці, для якої відповідне значення параметра позначимо через T 1. Умова (4) набуде вигляду t 1 2 T 1 = - 1. Для дотичних в точках М 2 і M 3 отримаємо аналогічні співвідношення t 2 2 T 2 \u003d -1 і t 3 2 T 3 = -1 . Перемножая ці три рівності, матимемо

(t 1 t 2 t 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . звідки на підставі (4) робимо висновок, що і T 1 T 2 T 3 = -1, тобто точки N 1 (T 1 ), N 2 (T 2) і N 3 (T 3) лежать на одній прямій.

Визначаючи площа, обмежену петлею декартова листа, отримаємо:

. Спосіб побудови. Зауважимо попередньо, що якщо вісь симетрії декартова листа прийняти за вісь абсцис, то рівняння його набуде вигляду

(5)

Нехай тепер є окружність з радіусом r і центром в точці

і пряма х \u003d -h. Візьмемо довільну точку Q цієї окружності і проведемо пряму QAі пряму QN, перпендикулярну до осі абсцис (рис. 2). З точки перетину R прямий QA з прямою х \u003d - h проводимо пряму RO до перетину її в точці Q 1 з прямою QN. Таким чином, точці Q на колі буде поставлена \u200b\u200bу відповідність точка Q 1. Геометричне місце точок Q 1 являє собою декартів лист.

Для доказу зауважимо, що координати точки Q можна записати у вигляді

кут, що складається радіусом кола, проведеним в точку Q, з позитивним напрямком осі абсцис. Відповідно до цього рівняння прямої QAможе бути записано у вигляді

Вважаючи в цьому рівнянні х \u003d -h, знаходимо ординату

точки R. Звідси випливає, що рівняння прямої RQ 1 запишеться у вигляді

(6)

У той же час рівняння прямої Q 1 N має вид

(7)

Виключаючи з рівнянь (6) і (7) параметр w, знаходимо рівняння геометричного місця точок Q 1 у вигляді

Зіставляючи його з рівнянням (5), робимо висновок, що знайдене геометричне місце точок є декартових листом.

Перетворення точок кола в точки декартова листа, здійснюване при такому його побудові, називається перетворенням Маклорена.

4. Історична довідка. Вперше в історії математики крива, названа згодом декартових листом, визначається в листі Декарта до Ферма в 1638 р як крива, для якої сума обсягів кубів, побудованих на абсциссе і ординате кожної точки, дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на абсциссе, ординате і деякої константи . Форма кривої встановлюється вперше Роберваля, який знаходить вузлову точку кривої, проте в його уявленні крива складається лише з петлі. Повторюючи цю петлю в чотирьох квадрантах, він отримує фігуру, яка нагадує йому квітка з чотирма пелюстками. Поетична назва кривої «пелюстка жасмину», однак, не прищепилося. Повна форма кривої з наявністю асимптоти була визначена пізніше (1 692) Гюйгенсом і І. Бернуллі. Назва «декартів лист» міцно встановилося тільки з початку 18 століття.

Цисоїда Діоклеса

1. Особливості форми. Серед багатьох способів освіти цисоїди - кривої, відкритої древніми в пошуках рішення знаменитої задачі про подвоєння куба, ми зупинимося спочатку на простому. Візьмемо коло (звану виробляє) з діаметром ОА \u003d 2а і дотичну АВ до неї. Через точку О проведемо промінь ОВ і на ньому відкладемо відрізок ОМ \u003d ВС. Побудована таким чином точка М належить цисоїди. повернувши промінь 0В на деякий кут і виконавши вказане побудова, ми знайдемо другу точку цисоїди, і т.д. (Рис. 3).

Якщо точку Про прийняти за полюс, то але звідки отримуємо полярне рівняння цисоїди

Користуючись формулами переходу від полярних координат до декартових, знайдемо рівняння цисоїди в прямокутній системі:

(2)

Параметричні рівняння цисоїди можна отримати, вважаючи x \u003d ty, тоді, на підставі рівняння (2), прийдемо до системи

Рис. 3

Рівняння (2) показує, що Цисоїда є кривій алгебри 3-го порядку, а з рівнянь (3) випливає, що вона є раціональною кривою.

Цисоїда симетрична щодо осі абсцис, має нескінченні гілки; дотична до виробляє кола, тобто пряма х \u003d 2а, служить для неї асимптотой; початок координат є точкою повернення 1-го роду.

2. Властивості. Кінематично Цисоїда може бути отримана як траєкторія середини М катета ВС трикутника АВС, пересувається в площині креслення так, що його вершина В ковзає по осі ординат, а інший катет АС завжди проходить через нерухому точку Е на осі абсцис. (Рис. 4)

Дійсно, позначивши середину відрізка ОЕ через D, помічаємо, що оскільки ВС \u003d ЕО,ê ВСЕ \u003dê ВЕО, звідки / _ ВЕО \u003d / _ СВ,і, отже, ê NBE - рівнобедрений, а так як ЕD\u003d ЕО / 2 \u003d ВС / 2 \u003d ВМ, то відрізок DM паралельний відрізку BE. Нехай, далі, точка До є точка перетину з продовженням відрізка DM прямої, що проходить через точку В паралельно осі абсцис. Опишемо коло з центром на початку координат і радіусом, рівним OD , і проведемо до неї дотичну в другій точці перетину з прямою ЕО. Вона пройде, очевидно, через точку К. Позначивши точку перетину прямої DMK з колом через F, зауважимо, що трикутники DOF і МВК рівні між собою. З рівності їх слід, що DF= MK, а значить, і DM= FK. Остання рівність і показує, що геометричне місце точок М буде цисоїди.

Інші способи освіти цисоїди засновані на її співвідношеннях з параболою. Покажемо в першу чергу, що цисоїда є подерой параболи щодо її вершини.

Рівняння даної параболи. Рівняння дотичної в довільній точці М (X, h ) цієї параболи можна записати у вигляді рівняння перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю дотичну, буде координати точки N перетину його з дотичною визначаться за формулами

(4)

Виключаючи з цих рівностей параметр h, ми отримаємо рівняння

Виражає цисоїди.

Зауважимо далі, що координати точки, симетричної початку координат щодо дотичної до параболи у 2 = 2 рх, вийдуть, якщо праві частини формул (4) подвоїти, і, отже, визначаться формулами

Виключаючи з цих рівностей параметр h, ми знову отримаємо цисоїди з рівнянням Звідси випливає, що Цисоїда є геометричним місцем точок, симетричних вершині параболи щодо її дотичних.

Слід зауважити, що геометричне місце точок, симетричних початку координат щодо дотичної до параболи, можна розглядати як траєкторію вершини іншої параболи, однаковою з даної, яка котиться по даній параболі. Таким чином, виникає новий спосіб кінематичного освіти цисоїди як траєкторії вершини параболи, яка без ковзання котиться по інший такий же параболі.

строфоїди

строфоїди (Від грец. Stróphos - кручена стрічка і éidos - вид)

Нехай є нерухома пряма АВ і точка С поза нею на відстані CO \u003d а; навколо С обертається пряма, яка перетинає АВ в змінній точці N. Якщо від точки N відкласти по обидва боки прямий АВ відрізки NM \u003d NM "\u003d NO, то геометричне місце точок М і М" для всіх положень обертового променя CN і є строфоїди. рівняння в прямокутних координатах: ; в полярних координатах: r \u003d - a cos 2j / cosj. Вперше строфоїди досліджував Е. Торрічеллі (1645), назва була введена в середині 19 ст. Рис. 6

Верзьера Аньезі

Верзьера (верзіера) Аньезі ( іноді локон Аньєзі) - плоска крива, геометричне місце точок M, для яких виконується співвідношення, де OA - діаметр окружності, BC - полухорда цієї окружності, перпендикулярна OA. Свою назву верзьера Аньезі отримала в честь італійського математика Марії Гаетано Аньезі, що досліджувала цю криву.

рівняння

O \u003d (0,0), A \u003d (0, a)

У прямокутній системі координат:

Координати точки M, що лежить на верзьере - це x \u003d BM, y \u003d OB. OA \u003d a і за визначенням будуємо пропорцію

Звідси

З іншого боку BC може бути знайдений з рівняння окружності:

Нам відомий y \u003d OB, значить висловлюємо:

Прирівнюємо обидва вирази для BC:

Зводимо в квадрат, переносимо і виносимо за дужки:

Висловлюємо y (y \u003d 0 не підходить за визначенням):

, Де - кут між OA і OC.

властивості:

1. Верзьера - крива третього порядку.

Діаметр OA єдина вісь симетрії кривої.

Крива має один максимум - A (0; a) і дві точки перегину -

В околі вершини A верзьера наближається до кола діаметра OA. У точці A відбувається дотик, і крива збігається з колом. Це показує величина радіуса кривизни в точці A:.

Площа під графіком S \u003d πa2. Вона обчислюється інтегруванням рівняння по всьому.

Обсяг тіла обертання верзьери навколо своєї асимптоти (осі OX).

аньé зи Марія Гаетана (Agnesi Maria Gaetana), рід. 16.05.1718, Мілан - розум. 09.01.1799, там же. Італійський математик, професор університету в Болоньї (з 1750). Твір Аньезі «Підстави аналізу для вживання італійського юнацтва» ( «Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana», v. 1-2, Mil., 1748) містить виклад аналітичної геометрії, зокрема там розглянута крива третього порядку, названа «локоном Аньезі» (або верзіера), рівняння якої y \u003d a 3 / (x 2 + a 2).

Для того щоб побудувати цю лінію, треба намалювати коло радіусом a з центром в точці (0, a). Потім з початку координат проводять прямі і відзначають дві точки. Точка А (x1, y1) - точка перетину прямої та кола, точка B (x2,2a) точка перетину прямої і верхньої горизонтальної дотичної до кола. Потім будується точка кривої (x2, y1).

Англійський математик Джон Колсон взяв на себе обов'язок переводити «Почала аналізу» з італійського. Однак для нього, європейця XVIII століття, було нелегко сприйняти, що автор книги - жінка, і що для неї, для автора, крива може асоціюватися з зачіскою. В результаті в англомовній літературі крива одержала назву - witch of Agnesi. - щось з області польотів на лису гору ...

3. Чудові лінії четвертого і вищих порядків

Лінією (кривою) четвертого порядку називають лінію, яка визначається алгебраїчним рівнянням четвертого ступеня відносно декартових прямокутних координат. Аналогічно визначаються лінії (криві) п'ятого, шостого та інших порядків.

Безліч ліній (кривих) четвертого порядку містять вже не десятки, а тисячі ліній приватного виду. Ще більш різноманітними є безлічі ліній п'ятого і шостого порядку. Тут розглядаються окремі види ліній четвертого і вищих порядків, які мають цікаві властивості і практичні застосування.

лемніската

Звернемося до кривої, що описується точкою М на площині так, що залишається незмінним твір р відстаней цієї точки до двох певних точок F 1 і F 2 тій же площині. Така крива називається лемніската (лемніската по-грецьки означає «стрічкова»). Якщо довжина відрізка F 1 F 2 є з, то відстані від середини Про відрізка F 1 F 2 до F1 і F2 рівні с / 2 і твір цих відстаней одно - з 2/4. Зажадаємо спочатку, щоб величина р незмінного твори дорівнювала якраз з 2/4; тоді

точка Про лежатиме на лемніската, а сама лемніската матиме вигляд «лежить вісімки» (рис. 8). Якщо продовжити відрізок F 1 F 2 в обидві сторони до перетину з лемніската, то отримаємо дві точки А 1 і А 2. Висловимо відстань між А 1 А 2 \u003d х через відоме відстань з:

Фокуси лемніскати - F1 (- c; 0) і F2 (c; 0). Візьмемо довільну точку M (x; y). Твір відстаней від фокусів до точки M є

І за визначенням воно дорівнює c2:

Зводимо в квадрат обидві частини рівності:

Розкриваємо дужки в лівій частині:

Розкриваємо дужки і згортають новий квадрат суми:

Виносимо загальний множник і переносимо:

В даному випадку a - радіус кола, що описує лемніската. Провівши нескладні перетворення, можна отримати явну рівняння:

Зводимо в квадрат і розкриваємо дужки:

Наводимо до виду

Це квадратне рівняння щодо y ". Вирішивши його, отримаємо

Взявши корінь і відкинувши варіант з негативним другим доданком, отримаємо:

де позитивний варіант визначає верхню половину лемніскати, негативний - нижню.

Якщо величину незмінного твори р взяти не рівної з 2/4, то лемніската змінить свій вигляд. І при р менше з 2/4, лемніската складається з двох овалів, кожен з яких містить точки F 1 і F 2, відповідно (рис. 9).

Т.ч. задаючи різні умови для р і з 2/4 будемо отримувати лемніскати різного виду (рис. 10).

Рис. 10

Візьмемо тепер на площині будь кількостей точок. F 1, F 2, ..., F n і змусимо точку М рухатися так, щоб для неї залишалося незмінним твір відстаней до кожної з узятих точок. Отримаємо Криву, форма якої буде залежати від того, як розташовані точки F 1, F 2, ..., F n один щодо одного і яка величина незмінного твори. Крива ця називається лемніската з n фокусами.

Вище ми розглядали лемніскати з двома фокусами. Беручи різну кількість фокусів, розташовуючи їх по-різному і призначаючи ту чи іншу величину для твору відстаней, можна отримувати лемніскати найхимерніших обрисів. Будемо вести вістрі олівця з деякою точки А, не відриваючи від паперу, так, щоб воно в кінці повернулося у вихідну точку А. Тоді воно опише деяку криву; ми будемо вимагати тільки, щоб ця крива ніде не перетинала

саму себе. Очевидно, що таким шляхом можуть вийти криві, що мають, наприклад, обриси людської голови або птиці (рис. 11). Виявляється, що, маючи таку довільну криву, можна так підібрати число п і розташування фокусів

F 1, F 2, ..., F n

і призначити таку величину для незмінного твори відстаней

МF 1 МF 2 ... МF n \u003d p

що відповідна лемніската на око не буде відрізнятися від цієї кривої. Іншими словами, можливі відхилення точки М, яка описує лемніската, від намальованої кривої - не братимуть перевершувати ширину олівцем штриха (олівець можна заздалегідь відточити як завгодно добре так, що штрих буде дуже вузьким). Цей чудовий факт, який свідчить про надзвичайній різноманітності н багатстві форм лемніската з багатьма фокусами, доводиться зовсім строго, нo дуже складно, за допомогою вищої математики.

равлик Паскаля

Геометричне місце точок М і M ", розташованих на прямих пучка (центр якого Про лежить на колі радіуса R) на відстані а по обидва боки від точки Р перетину прямих з колом; т. О., PM \u003d PM" \u003d а. рівняння в прямокутних координатах: ( x 2 + y 2 - 2Rx) 2 - а 2(х 2 + y 2) \u003d 0, в полярних координатах: r \u003d 2 R cos j + а. при а \u003d2R петля затягується в точку, в цьому випадку равлик Паскаля перетворюється в кардиоиду. Назва по імені французького вченого Б. Паскаля (1588-1651), вперше вивчав її.

циклоїдальні криві

Уявімо, що деяка крива котиться без ковзання по іншій кривій; яка-небудь точка, незмінно пов'язана з першою кривою, буде описувати при цьому нову криву. Так можна уявити собі еліпс, що котиться по іншому еліпсу, і досліджувати лінію, по якій буде переміщатися його центр, або визначити траєкторію фокуса параболи, що котиться по прямій, і т.д.

Серед кривих, утворених зазначеним способом, виділяються криві, що є траєкторіями точки, незмінно пов'язаної скругом, який котиться без ковзання по іншому колу. Отримувані при цьому лінії називаються циклоїдальних.

При утворенні циклоїдальних кривих викреслюють точка відстоїть від центру виробляє (рухомого) кола на певній відстані. В окремому випадку вона знаходиться на колі виробляє кола. При цьому умови одержувані криві підрозділяються на епіциклоїда і гіпоціклоіди в залежності від того, розташовується чи виробляє коло з зовнішньої або з внутрішньої сторони нерухомого кола.

До алгебраїчним кривим відносяться такі відомі криві, як кардіоїда, астроїда, розглянемо ці криві.

кардіоїда

1. рівняння. Кардиоиду можна визначити як траєкторію точки, що лежить на окружності кола радіуса r, який котиться по колу нерухомого кола з таким же радіусом. Вона буде являти собою, таким чином, епіциклоїда з модулем m, що дорівнює 1.

Ця обставина дозволяє відразу ж записати параметричні рівняння кардіоїди, замінюючи в раніше наведених параметричних рівняннях епіциклоїда модуль m одиницею. Будемо мати:

(1)

Щоб отримати полярне рівняння кардіоїди, зручно прийняти за полюс точку А (рис. 13), а полярну вісь направити по осі абсцис. Так як чотирикутник AOO 1 M буде рівнобедреної трапецією, то полярний кут j точки М виявиться рівним куту повороту виробляє кола, тобто параметру t. З огляду на цю обставину, замінимо в другому рівнянні системи (1) у через r sin t. Скорочуючи отримане таким чином рівність на sin t, отримаємо полярне рівняння кардіоїди

По виду цього рівняння

можна зробити висновок, що кардіоїда є однією з равликів Паскаля. Вона може бути визначена, отже, як конхоїда кола.

З цього рівняння випливає, що кардіоїда є кривій алгебри 4-го порядку.

2. Властивості. Перш за все, оскільки кардіоїда є епіциклоїда з m \u003d 1, на неї можна перенести всі властивості розглянутих нами в попередньому параграфі епіциклоїда.

Ось ці властивості і характеристики.

Дотична в довільній точці кардіоїди проходить через точку кола виробляє кола, діаметрально протилежну точці дотику кіл, а нормаль - через точку їх торкання.

Кут m, що складається дотичній до кардіоїд з радіусом-вектором точки дотику, дорівнює половині кута, утвореного цим радіусом-вектором з полярною віссю. дійсно

З цього співвідношення безпосередньо випливає, що кут, що складається дотичній до кардіоїд з віссю абсцис, дорівнює (як зовнішній кут трикутника AMN Рис. 14). Маючи в своєму розпорядженні формулою можна довести, що дотичні до кардіоїд, проведені в кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні.

Дійсно, так як

Рис. 14

Зауважимо ще, що геометричне місце точок перетину цих дотичних є окружність Дійсно, рівняння першої дотичній на підставі рівнянь (1) кардіоїди, матиме вигляд

А другий дотичній Виключаючи з цих рівнянь параметр, отримаємо рівняння зазначеної окружності.

Радіус кривизни в довільній точці кардіоїди визначиться за формулою

Можна показати також, що радіус кривизни дорівнює 2/3 полярній нормалі N в заданій точці.

Дійсно, звідки на підставі (4) отримуємо Співвідношення це може бути використано для побудови центру кривизни кардіоїди.

Еволюта кардіоїди, відповідно до загального властивості еволют епіциклоїда, буде також кардіоїд, подібної даної, з коефіцієнтом подібності, рівним 1/3, і поверненою щодо даної на кут 180 °.

Довжина дуги кардіоїди від точки А до довільної точки М визначиться за формулою

Якщо довжину дуги відраховувати від точки А 1, діаметрально протилежної точки А, то формула для визначення довжини дуги може бути записана у вигляді

(6)

Натуральне рівняння кардіоїди вийде, якщо з рівності (4) і (6) виключити параметр. Воно буде мати вигляд

(7)

Площа, обмежена кардіоїд, визначиться за формулою

і, як видно, дорівнює ушестеренной площі виробляє кола.

Довжина всієї кардіоїди визначиться за формулою

і, як видно, дорівнює восьми діаметрам виробляє кола. Обсяг тіла, отриманого від обертання кардіоїди навколо її осі, дорівнює

Поверхня тіла, отриманого від обертання кардіоїди навколо її осі, дорівнює

Ми бачили, що кардіоїда органічно пов'язана з колом. Вона є конхоїда кола і епіциклоїда. Вона має з колом і інший характер спорідненості - кардіоїда є подерой колу відносно точки, що належить цій окружності.

Дійсно, нехай ОМ є перпендикуляр, опущений на дотичну до кола з радіусом, рівним 2r, проведену в точці N.

Так як ОМ \u003d OB + ВМ, або r \u003d\u003d 2r cos j + 2r, то геометричним місцем точок М буде кардіоїда з рівнянням r \u003d 2r (1 + cos j)

Зауважимо на закінчення, що кардіоїда відноситься також до сімейства синусоїдальних спіралей, і окремі властивості її повторюють загальні властивості цих кривих. З цих властивостей випливає, зокрема, що інверсія кардіоїди, щодо точки повернення дає параболу.

Астроіда

1. Властивості. Астроіда є окремим випадком гіпоциклоїда, а саме, гіпоциклоїда з модулем m, рівним 1/4. Вона являє собою, отже, траєкторію точки, що лежить на окружності кола радіуса r, який котиться по внутрішній стороні іншого, нерухомого кола, радіус R якого в чотири рази більше.

Параметричні рівняння астроїди можна отримати, вважаючи в рівняннях гіпоціклоіди, m \u003d 1/4. Ось ці рівняння:

де t, як і раніше, кут повороту виробляє кола (рис. 16)

Виключаючи з рівнянь (1) параметр t, отримаємо:

З рівняння (2) випливає, що астроїда є кривій алгебри 6-го порядку.

Параметричні рівняння (1) астроїди можна привести до виду

(3)

Виключаючи з цих рівнянь параметр t, отримаємо часто вживається вид рівняння астроїди

(4)

Вважаючи в раніше виведених загальних співвідношеннях для циклоїдальних кривих модуль

m \u003d -1/4, отримаємо відповідні співвідношення для астроїди:

) Радіус кривизни в довільній точці астроїди визначається за формулою

(5)

) Довжина дуги астроїди від точки А до довільної точки M (t) визначиться за формулою

довжина однієї гілки дорівнює а довжина всієї кривої 6R;

) Для отримання натурального рівняння астроїди зауважимо попередньо, що якщо початком відліку довжини дуги вважати не крапку А, для якої t \u003d 0, а точку, для якої t \u003d p, то довжина дуги визначиться формулою

виключаючи параметр t з рівнянь (5) і (6), отримаємо натуральне рівняння астроїди

) Еволюта астроїди є також астроїда, подібна цій, з коефіцієнтом подібності, рівним 2, повернена щодо даної на кут p / 4 (рис. 16)

) Площа, обмежена всій астроїда, дорівнює об'єм тіла, отриманого від обертання астроїди, дорівнює 32 / 105p R 3

поверхню тіла, утвореного обертанням астроїди, дорівнює

Звернемося тепер до розгляду деяких приватних властивостей астроїди.

Астроіда є обвідної відрізка постійної довжини, кінці. якого ковзають по двох взаємно перпендикулярним прямим.

Приймаємо ці прямі за осі координат і, позначаючи кут нахилу змінного відрізка ND \u003d R через a (рис. 4), будемо мати рівняння прямої ND у вигляді

Диференціюючи це рівняння по параметру a, отримаємо:

Практично переміщення відрізка ND можна здійснити за допомогою так званих карданових кіл. Один з цих кіл з радіусом R нерухомий, а інший, з радіусом r, в два рази меншим, котиться по внутрішній стороні нерухомого кола. Будь-які дві діаметрально протилежні точки N і D котиться кола будуть переміщатися по двох взаємно перпендикулярним діаметрам Ох і Оу нерухомого кола. Ясно, що обгинає діаметра котиться кола і буде астроїда.

Розглянутий спосіб утворення астроїди можна витлумачити також наступним чином. Прямокутник ODCN, дві сторони якого лежать на двох взаємно перпендикулярних прямих, деформується так, що діагональ його зберігає довжину, рівну R, огинає діагоналі і буде астроїда. Так як при цьому перпендикуляр, опущений з вершини С на діагональ DN, служить нормаллю до обвідної, то астроїда є геометричне місце основ перпендикулярів, опущених з вершини С прямокутника на його діагональ.

При ці рівняння виражають розглянуту раніше пряму астроїда.

. Деякі трансцендентні лінії

трансцендентними називають лінії, рівняння яких у прямокутних декартових координатах не є алгебраїчними. Найпростішими прикладами трансцендентних ліній можуть служити графіка функцій, y \u003d, y \u003d і інших тригонометричних функцій. Розглянемо деякі інші трансцендентні лінії.

спіраль Архімеда

Уявімо нескінченно довгу секундну стрілку, по якій, починаючи від центру циферблата, невтомно біжить маленький жучок з постійною швидкістю v см / с. Через хвилину жучок буде на відстані 60v см від центру, через дві - 120v і т.д. Взагалі, через t секунд після початку пробігу відстань жучка від центру дорівнюватиме vt см. За цей час стрілка повернеться на кут, що містить 6 t ° (адже за одну секунду вона встигає повернутися на кут 360 °: 60 \u003d 6 °). Тому положення жучка на площині циферблата через будь-яке число t секунд після початку руху знаходиться так. Потрібно відкласти від початкового положення стрілки в напрямку її обертання кут а, що містить 6t °, і відміряти від центру уздовж нового положення стрілки відстань r \u003d vt см. Тут ми і наздоженемо жучка (рис. 21).

Рис. 21.

Очевидно, що співвідношення між кутом повороту a стрілки (в градусах) і пройденою відстанню r (в сантиметрах) буде таке:

Іншими словами, r прямо пропорційно a, причому коефіцієнт пропорційності k \u003d v / 6.

Приладнав до нашого бігуна маленьку, але невичерпну баночку з чорною фарбою і припустимо, що фарба, витікаючи через крихітний отвір, залишає на папері слід від буря разом зі стрілкою жучка. Тоді на папері буде поступово вимальовуватися крива, вперше вивчена Архімедом (287 - 212 до н.е.). У його честь вона називається спіраллю Архімеда. Потрібно тільки сказати, що у Архімеда не було мови ні про секундної стрілкою (тоді ї години з пружиною не було: їх винайшли тільки в XVII ст.), Ні про жучків. Ми ввели їх тут для наочності.

Рис. 22 Рис. 23.

Спіраль Архімеда складається з нескінченно багатьох витків. Вона починається в центрі циферблата, і все більше і більше віддаляється від нього в міру того, як зростає число обертів. На рис. 22 зображені перший виток і частина другого.

Ви, напевно, чули, що за допомогою циркуля і лінійки неможливо розділити на три рівні частини навмання взятий кут (в окремих випадках, коли кут містить, наприклад, 180 °, 135 ° або 90 °, це завдання легко вирішується). А ось якщо користуватися акуратно накресленої архимедовой спіраллю, то будь-який кут можна розділити на яке завгодно число рівних частин.

Розділимо, наприклад, кут АОВ на три рівні частини (рис. 23.). Якщо вважати, що стрілка повернулася якраз на цей кут, то жучок, буде знаходитися в точці N на стороні кута. Але коли кут повороту був втричі менше, то і жучок був втричі ближче до центру О. Щоб знайти це його положення, розділимо спочатку відрізок ON на три рівні частини. Це можна зробити за допомогою циркуля і лінійки. Отримаємо відрізок ON 1, довжина якого втричі менше, ніж ON. Щоб повернути жучка на спіраль, потрібно зробити зарубку цієї кривої радіусом ON 1 (знову циркуль!). Отримаємо точку М. Кут АОМ і буде втричі менше кута AON.

циклоїда

Докладемо до нижнього краю класної дошки лінійку і будемо котити по ній обруч або круг (картонний або дерев'яний), притискаючи його до лінійки і до дошки. Якщо прикріпити до обруча або кола шматок крейди (в точці дотику його з лінійкою), то крейда буде викреслювати криву (рис. 24), звану циклоїдою (що по-грецьки означає «колоподібна»). Одному обороту обруча відповідає одна «арка» циклоїди MM "M" "N", якщо обруч буде котитися далі, то будуть виходити ще й ще арки тієї ж циклоїди.

Рис. 24.

Щоб побудувати на папері наближено одну арку циклоїди, описану при коченні обруча діаметром, рівним, наприклад, трьом сантиметрам, відкладемо на прямій відрізок, рівний 3х3,14 \u003d 9,42 см.

Отримаємо відрізок, довжина якого дорівнює довжині обода обруча, тобто довжині кола діаметром в три сантиметри. Розділимо далі цей відрізок на деяке число рівних частин, наприклад на 6, і для кожної точки поділу зобразимо наш обруч в тому його положенні, коли він спирається саме на цю точку (рис. 24), пронумеровані ці положення цифрами:

О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Щоб перейти з одного стану в сусіднє, обруч повинен повернутися на одну шосту повного обороту ^ так як відстань між сусідніми точками ділення одно шостий частини кола). Тому якщо в положенні 0 крейда буде знаходитися в точці М 0, то в положенні 1 він буде лежати в точці M 1 - на одній шостій окружності від точки дотику, в положенні 2 - в точці М 2 - на дві шостих від точки дотику і т . Д. Щоб отримати точки M 1, M 2, М 3 і т.д., потрібно лише виробляти зарубки відповідної окружності, починаючи від точки дотику, радіусом, рівним

Рис. 25.

5 см, причому в положенні 1 потрібна одна зарубка, в положенні 2 - дві зарубки, виконані одна за одною, в положенні 3 - три зарубки і т.д. Тепер для креслення циклоїди залишається з'єднати точки

М 0, M 1, М 2, М 3, M 4, M 5, M 6

плавною кривою (на око).

Крива найкоротшого спуску

Серед багатьох чудових властивостей циклоїди відзначимо одне, через якого вона заслужила голосно звучить мудре назву: «брахістохрони». Ця назва складена з двох грецьких слів, що означають «найкоротший» і «час».

Розглянемо таке питання: яку форму слід надати добре відшліфованому металевому жолобу, що з'єднує дві задані точки А і В (рис. 26.), щоб полірований металевий кулька скочувався з цього жолобу з точки А в точку В у найкоротший час? На перший погляд здається, що потрібно зупинитися на прямолінійній жолобі, так як тільки уздовж нього кульку пройде найкоротший шлях від А до В. Однак мова йде нема про найкоротшому шляху, а про найкоротшому часі; час же залежить не тільки від довжини шляху, але і від швидкості, з якою біжить кулька. Якщо жолоб прогнути вниз, то його частина, починаючи від точки А, буде крутіше опускатися вниз, ніж в разі прямолінійного жолоба, і кулька, падаючи з нього, придбає швидкість більшу, ніж на ділянці такої ж довжини прямолінійного жолоба. Але якщо зробити початкову частину дуже крутий і порівняно довгою, то тоді частина, що примикає до точки В, буде дуже пологих і також порівняно довгою; першу частину кулька пройде швидко, другу дуже повільно і кулька може запізнитися з приходом в точку В. Отже, жолобу, мабуть, потрібно надавати увігнуту форму, але робити вигин не дуже значним

Рис. 26.

Рис. 27.

Італійський фізик і астроном Галілей (1564-1642) думав, що жолоб найкоротшого часу потрібно вигинати по дузі кола. Але швейцарські математики брати Бернуллі близько трьохсот років тому довели точним розрахунком, що це не так і що жолоб потрібно вигинати по дузі циклоїди (перекинутої вниз, рис. 27.). З тих пір циклоїда і заслужила прізвисько брахістохрони, а докази Бернуллі послужили, початком нової галузі математики - варіаційного обчислення. Останнє займається відшукання виду кривих, для яких та чи інша інформація, що цікавить нас величина досягає свого найменшого (а в деяких питаннях - найбільшого) значення.

логарифмічна спіраль

Криву цю можна було б назвати по імені Декарта, так як вперше про неї говориться в одному з його листів (1638 г.). Однак докладне вивчення її властивостей було проведено тільки через півстоліття Якобом Бернуллі. На сучасних йому математиків ці властивості справили сильне враження. На кам'яній плиті, піднятий на могилі цього знаменитого математика, зображені витки логарифмічною спіралі.

Архимедову спіраль описує точка, що рухається уздовж променя ( «нескінченної стрілки») так, що відстань від початку променя зростає пропорційно кутку його повороту: r \u003d ka. Логарифмічна спіраль вийде, якщо зажадати, щоб не саме відстань, а його логарифм зростав прямо пропорційно куту повороту. Зазвичай рівняння логарифмічної спіралі записують, користуючись в якості підстави системи логарифмів неперово числом е (п. 25). Такий логарифм числа r називають натуральним логарифмом і позначають In r. Отже, рівняння логарифмічної спіралі записується у вигляді ln r \u003d ka

Звичайно, кут повороту а можна вимірювати як і раніше в градусах. Але математики вважають за краще вимірювати його в радіанах, тобто приймати за міру кута відношення довжини дуги кола між сторонами центрального кута до радіуса цього кола. Тоді ловорот стрілки на прямий кут буде вимірюватися числом л 1,57, поворот на величину розгорнутого кута - числом л 3,14, а повний поворот, вимірюваний в градусах числом 360, в радіанах буде вимірюватися числом 2 л 6,28.

Рис. 28.

З багатьох властивостей логарифмічної спіралі, відзначимо одне: будь-який промінь, що виходить з початку, перетинає будь-виток спіралі під одним і тим же кутом. Величина цього кута залежить тільки від числа k в рівнянні спіралі. При цьому під кутом між променем і спіраллю розуміється кут між цим променем і дотичній до спіралі, проведеної в точці перетину (Рис. 28).

висновок

В ході рассматреванія кривих третього і четвертого порядків

ми познайомилися з деякими справді чудовими кривими, що населяють дивовижний світ аналітичної геометрії, які зустрічаються в нашому житті набагато частіше, ніж здається. Розглянули практичне застосування їх в життя людини, значення їх чудових властивостей в різних механізмах, що використовуються людиною в житті. У даній роботі зібрали матеріал з ухилом на практичне побудова кривих.

Отже, було досягнуто поставленої мети і вирішені позначені, відповідно, до мети завдання.

література

лінія порядок трансцендентний спіраль

1. Маркушевич А.І. Чудові криві. - М.:. Краснопролетарская, 1951. -23 с .; 1978. - 48 стор. З іл.

Історія математики з найдавніших часів до початку XIX століття / Под ред. А.П. Юшкевіча. - М .: Наука, 1970, т. 1. - 352 с .; 1970, т. 2. - 300 с .; 1972, т. 3 - 496 с.

Нікіфоровський В.А., Фрейман Л.С. Народження нової математики. - М .: Наука, 1976. - 198 с.

Савелов А.А. Плоскі криві. - М .: Физматгиз, 1960 - 294 с.

Ільїн В.А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія. - М .: Наука, 1971. - 232 с.

Тишкевич Р.І., Феденко А.С. Лінійна алгебра і аналітична геометрія. - 2-е вид. - Мінськ: Виш. Шк., 1976.544 с.

Крива або лінія - геометричне поняття, яке визначається в різних розділах різна.

Крива (лінія), слід, залишений рухається точкою або тілом. Зазвичай криву представляють лише як плавно згинається лінію, начебто параболи або окружності. Але математичне поняття кривої охоплює і пряму, і фігури, складені з відрізків прямих, наприклад, трикутник або квадрат.

Криві можна розділити на плоскі і просторові. Плоска крива, наприклад, парабола або пряма, утворюється при перетині двох площин або площині і тіла і тому цілком лежить в одній площині. Просторову криву, наприклад, кручені лінію, що має форму спіральної пружини, не можна отримати як перетин який-небудь поверхні або тіла з площиною, і вона не лежить в одній площині. Криві можна також поділити на замкнуті і відкриті. Замкнута крива, наприклад квадрат або коло, не має кінців, тобто рухається точка, що породжує таку криву, періодично повторює свій шлях.

Крива є геометричне місце, або безліч, точок, що задовольняють деякому математичного умові або рівняння.

Наприклад, окружність - це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки. Криві, що визначаються алгебраїчними рівняннями, називаються алгебраїчними кривими.

Наприклад, рівняння прямої y \u003d mx + b, де m - кутовий коефіцієнт, а b - відрізок, що відсікається на осі y, - алгебраїчне.

Криві, рівняння яких містять трансцендентні функції, наприклад, логарифми або тригонометричні функції, називаються трансцендентними кривими.

Наприклад, y \u003d log x і y \u003d tg x - рівняння трансцендентних кривих.

Форму кривій алгебри можна визначити за ступенем її рівняння, яка збігається з найвищим ступенем членів рівняння.

Якщо рівняння першого ступеня, наприклад Ax + By + C \u003d 0, то крива має форму прямої.

Якщо рівняння другого ступеня, наприклад,

Ax 2 + By + C \u003d 0 або Ax 2 + By 2 + C \u003d 0, то крива квадратична, тобто є одним з конічних перетинів; до числа таких кривих відносяться параболи, гіперболи, еліпси і кола.

Перерахуємо загальні форми рівнянь конічних перетинів:

x 2 + y 2 \u003d r 2 - окружність,

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 - еліпс,

y \u003d ax 2 - парабола,

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 - гіпербола.

Криві, що відповідають рівнянням третьої, четвертої, п'ятої, шостої і т.д. ступенів, називаються кривими третього, четвертого, п'ятого, шостого і т.д. порядку. Як правило, чим вище ступінь рівняння, тим більше вигинів буде у відкритій кривої.

Багато складні криві отримали спеціальні назви.

Циклоїдою називається плоска крива, описувана фіксованою точкою кола, що котиться по прямій, званої що утворює циклоїди; циклоїда складається з серії повторюваних дуг.

Епіциклоїда - це плоска крива, описувана фіксованою точкою кола, що котиться по інший нерухомою кола поза нею.

Гіпоциклоїда називається плоска крива, описувана фіксованою точкою кола, що котиться зсередини по нерухомій окружності.

Спіраллю називається плоска крива, яка виток за витком розкручується від нерухомої точки (або накручується на неї).

Математики займалися вивченням властивостей кривих з глибокої давнини, і назви багатьох незвичайних кривих пов'язані з іменами тих, хто вперше їх досліджував. Такі, наприклад, спіраль Архімеда, локон Аньєзі, Цисоїда Діоклеса, кохоіда Никомеда і лемніската Бернуллі.

В рамках елементарної геометрії поняття кривої не отримує виразною формулювання і іноді визначається як «довжина без ширини» або як «межа фігури». По суті в елементарній геометрії вивчення кривих зводиться до розгляду прикладів (, , , та ін.). Не маючи загальними методами, елементарна геометрія досить глибоко проникла в вивчення властивостей конкретних кривих (, деякі і також), Застосовуючи в кожному випадку спеціальні прийоми.

Найчастіше крива визначається як безперервне відображення з відрізка в:

При цьому, криві можуть бути різними, навіть якщо їх збігаються. Такі криві називаютьпараметризрвані кривими або, якщо[ a , b ] = , шляхами.

Іноді крива визначається з точністю до, тобто з точністю до мінімального відношення еквівалентності такого що параметричні криві

еквівалентні, якщо існує безперервна (іноді неубутна) h з відрізка [ a 1 ,b 1] на відрізок [ a 2 ,b 2], така що

Обумовлені цим ставленням називаються або просто кривими.

аналітичні визначення

У курсах аналітичної геометрії доводиться, що серед ліній, що записуються в декартових прямокутних (або навіть в загальних афінних) координатах загальним рівнянням другого ступеня

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0

(Де хоча б один з коефіцієнтів A, B, C відмінний від нуля) зустрічаються лише наступні вісім типів ліній:

а) еліпс;

б) гіпербола;

в) парабола (невироджені криві другого порядку);

г) пара пересічних прямих;

д) пара паралельних прямих;

е) пара збіглися прямих (одна пряма);

ж) одна точка (вироджені лінії другого порядку);

з) "лінія", зовсім не містить точок.

Назад, будь-яка лінія кожного із зазначених восьми типів записується в декартових прямокутних координатах деяким рівнянням другого порядку. (В курсах аналітичної геометрії зазвичай говорять про дев'ять (а не про восьми) типах конічних перетинів, оскільки там розрізняють "уявний еліпс" і "пару уявних паралельних прямих", - геометрично ці "лінії" однакові, оскільки обидві не містять жодної точки, але аналітично вони записуються різними рівняннями.) Тому (вироджені і невироджені) конічні перетину можна визначити також як лінії другого порядку.

В крива на площині визначається як безліч точок, координати яких задовольняють рівнянняF ( x , y ) = 0 . При цьому на функціюF накладаються обмеження, які гарантують, що це рівняння має безліч незбіжних рішень і

це безліч рішень не заповнює «шматка площині».

алгебраїчні криві

Важливий клас кривих складають ті, для яких функціяF ( x , y ) є від двох змінних. У цьому випадку крива, яка визначається рівняннямF ( x , y ) = 0 , називається.

Алгебраїчні криві, що задаються рівнянням 1-го ступеня, суть.

Рівняння 2-го ступеня, має безліч рішень, визначає, тобто вироджені і невироджені.

Приклади кривих, що задаються рівняннями 3-го ступеня:,.

Приклади кривих 4-ої ступеня: і.

Приклад кривої 6-ий ступеня:.

Приклад кривої, яка визначається рівнянням парної ступеня: (багатофокусного).

Алгебраїчні криві, що визначаються рівняннями вищих ступенів, розглядаються в. При цьому велику стрункість набуває їх теорія, якщо розгляд ведеться на. У цьому випадку крива алгебри визначається рівнянням виду

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

де F - многочлен трьох змінних, які є точок.

типи кривих

Плоска крива - крива, всі точки якої лежать в одній площині.

(Проста лінія або жорданова дуга, також контур) - безліч точок площини або простору, що знаходяться у взаємно однозначній і взаємно безперервному відповідно до відрізками прямої.

Шлях - відрізка в.

аналітичні криві, які не є алгебраїчними. Більш точно - криві, які можна задати через лінію рівня аналітичної функції (або, в багатовимірному випадку, системи функцій).

синусоїда,

циклоїда,

Спіраль Архімеда,

трактриса,

Ланцюгова лінія,

Гіперболічна спіраль і ін.

1. Способи завдання кривих:

аналітичний - крива задана математичним рівнянням;

графічний - крива задана візуально на носії графічної інформації;

табличний - крива задана координатами послідовного ряду точок.

параметричний (найбільш загальний спосіб задати рівняння кривої):

де - гладкі функції параметраt , причому

(x") 2 + (y") 2 + (z") 2\u003e 0 (умова регулярності).

Часто зручно використовувати інваріантну і компактну запис рівняння кривої за допомогою:

де в лівій частині варто точок кривої, а права визначає його залежність від деякого параметра t. Розкривши цю запис в координатах, ми отримуємо формулу (1).

1. Циклоїда.

Історія дослідження циклоїди пов'язана з іменами таких великих вчених, філософів, математиків і фізиків, як Арістотель, Птолемей, Галілей, Гюйгенс, Торрічеллі та ін.

циклоїда (відκυκλοειδής - круглий) -, яку можна визначити як траєкторію точки, що лежить на кордоні кола, що котиться без ковзання по прямій. Цю окружність називають породжує.

Одним з найдавніших способів освіти кривих є кінематичний спосіб, при якому крива виходить як траєкторія руху точки. Крива, яка виходить як траєкторія руху точки, закріпленої на кола, що котиться без ковзання по прямій, по колу чи інший кривої, називається циклоїдальних, що в перекладі з грецької мови означає колоподібна, що нагадує про колі.

Розглянемо спочатку випадок, коли окружність котиться по прямій. Крива, яку описує точка, закріплена на кола, що котиться без ковзання по прямій лінії, називається циклоїдою.

Нехай коло радіуса R котиться по прямій а. С - точка, закріплена на окружності, в початковий момент часу знаходиться в положенні А (рис. 1). Відкладемо на прямій а відрізок АВ, що дорівнює довжині кола, тобто АВ \u003d 2 π R. Розділимо цей відрізок на 8 рівних частин точками А1, А2, ..., А8 \u003d В.

Ясно, що коли окружність, котячись по прямій а, зробить один оборот, тобто повернеться на 360, то вона займе положення (8), а точка С переміститься з положення А в положення В.

Якщо окружність зробить половину повного обороту, тобто повернеться на 180, то вона займе положення (4), а точка С переміститься в саме верхнє положення С4.

Якщо окружність повернеться на кут 45, то окружність переміститься в положення (1), а точка С переміститься в положення С1.

На малюнку 1 показані також інші точки циклоїди, відповідні залишилися кутах повороту окружності, кратним 45.

Поєднуючи плавною кривою побудовані точки, отримаємо ділянку циклоїди, що відповідає одному повного обороту окружності. При наступних оборотах будуть виходити такі ж ділянки, тобто циклоїда буде складатися з періодично повторюваного ділянки, званого аркою циклоїди.

Звернемо увагу на положення дотичної до циклоїди (рис. 2). Якщо велосипедист їде по мокрій дорозі, то відірвалися від колеса краплі будуть летіти по дотичній до циклоїди і при відсутності щитків можуть забризкати спину велосипедиста.

Першим, хто став вивчати циклоиду, був Галілео Галілей (1564 - тисяча шістсот сорок дві). Він же придумав і її назва.

Властивості циклоїди:

Циклоїда має цілу низку чудових властивостей. Згадаємо про деякі з них.

Властивість 1. (Крижана гора.) В 1696 И.Бернулли поставив завдання про знаходження кривої найшвидшого спуску, або, інакше кажучи, завдання про те, якою має бути форма крижаної гірки, щоб, скочуючись по ній, зробити шлях з початкової точки А в кінцеву точку В за найкоротший час (рис. 3, а). Шукану криву назвали "брахістохрони", тобто кривої найкоротшого часу.

Ясно, що найкоротшим шляхом з точки A в точку B є відрізок AB. Однак при такому прямолінійному русі швидкість набирається повільно і витрачений на спуск час виявляється більшим (рис. 3, б).

Швидкість набирається тим швидше, чим крутіше спуск. Однак при крутому спуску подовжується шлях по кривій і тим самим збільшується час його проходження.

Серед математиків, які вирішували це завдання, були: Г. Лейбніц, І. Ньютон, Г.Лопіталь і Я. Бернуллі. Вони довели, що шуканої кривої є перевернута циклоїда (рис. 3, а). Методи, розвинені цими вченими при вирішенні задачі про Брахістохрона, започаткували новий напрям математики - варіаційного числення.

Властивість 2. (Годинник з маятником.) Годинники зі звичайним маятником не можуть йти точно, оскільки період коливань маятника залежить від його амплітуди: чим більше амплітуда, тим більше період. Голландський вчений Християн Гюйгенс (1629 - 1695) задався питанням, з якої кривої повинен рухатися кульку на нитці маятника, щоб період його коливань не залежав від амплітуди. Зауважимо, що в звичайному маятнику кривої, по якій рухається кулька, є окружність (рис. 4).

Шуканої кривої виявилася перевернута циклоїда. Якщо, наприклад, у формі перевернутої циклоїди виготовити жолоб і пустити по ньому кульку, то період руху кульки під дією сили тяжіння не буде залежати від початкового його положення і від амплітуди (рис. 5). За це властивість циклоиду називають також "таутохронность" - крива рівних часів.

Гюйгенс виготовив дві дерев'яні дощечки з краями у формі циклоїди, що обмежують рух нитки зліва і справа (рис. 6). При цьому сам кульку буде рухатися по перевернутої циклоїді і, таким чином, період його коливань не буде залежати від амплітуди.

З цієї властивості циклоїди, зокрема випливає, що незалежно від того, з якого місця крижаної гірки у формі перевернутої циклоїди ми почнемо спуск, на весь шлях до кінцевої точки ми витратимо одне і той же час.

рівняння циклоїди

1.Уравненіе циклоїди зручно записувати через α - кут повороту окружності, виражений в радіанах, зауважимо, що α також дорівнює шляху, пройденого виробляє окружністю по прямій.

x \u003d rα– rsin α

y \u003d r - rcos α

2.Прімем горизонтальну вісь координат як прямий, по якій котиться виробляє коло радіуса r.

Циклоїда описується параметричними рівняннями

x = rt – rsin t,

y = r – rcos t.

Рівняння в:

Циклоїда може бути отримана як рішення диференціального рівняння:

З історії про циклоїді

Першим з учених звернув увагу на циклоиду в, Але серйозне дослідження цієї кривої почалося тільки в.

Першим, хто став вивчати циклоиду, був Галілео Галілей (1564-1642) - знаменитий італійський астроном, фізик і просвітитель. Він же придумав назву «циклоїда», що означає: «нагадує про коло». Сам Галілей про циклоїді нічого не писав, але про його роботах в цьому напрямку згадують учні та послідовники Галілея: Вівіані, Торрічеллі і інші. Торічеллі - відомий фізик, винахідник барометра - приділяв чимало часу і математики. В епоху Відродження не було вузьких вчених-фахівців. Талановита людина займався і філософією, і фізикою, і математикою і всюди отримував цікаві результати і робив великі відкриття. Трохи пізніше італійців за циклоиду взялися французи, які назвали її «рулеттой» або «трохоїда». У 1634 році Роберваль - винахідник відомої системи ваг системи ваг - обчислив площу, обмежену аркою циклоїди і її підставою. Змістовне дослідження циклоїди провів сучасник Галілея. Серед, тобто кривих, рівняння яких не може бути записано у вигляді від x , y , Циклоїда - перша з досліджуваних.

Писав про циклоїді:

Рулетта є лінією настільки звичайною, що після прямої та кола немає більш часто зустрічається лінії; вона так часто викреслюється перед очима кожного, що треба дивуватися тому, що не розглянули її стародавні ... бо це не що інше, як шлях, що описується в повітрі цвяхом колеса.

Нова крива швидко завоювала популярність і піддалася глибокому аналізу, в якому брали участь, , Ньютон,, Брати Бернуллі та інші корифеї науки XVII-XVIII століть. На циклоїді активно опрацьовувалися методи з'явився в ті роки. Той факт, що аналітичне дослідження циклоїди виявилося настільки ж успішним, як і аналіз алгебраїчних кривих, справив велике враження і став важливим аргументом на користь «зрівняння в правах» алгебраїчних і трансцендентних кривих. епіциклоїда

Деякі види циклоїд

епіциклоїда - траєкторія точки А, що лежить на окружності діаметра D, яка котиться без ковзання по направляючої кола радіуса R (дотик зовнішнє).

Побудова епіциклоїда виконується в наступній послідовності:

З центру 0 проводять допоміжну дугу радіусом рівним 000 \u003d R + r;

З точок 01, 02, ... 012, як з центрів, проводять окружності радіуса r до перетину з допоміжними дугами в точках А1, А2, ... А12, які належать епіциклоїда.

гіпоциклоїда

Гіпоциклоїда - траєкторія точки А, що лежить на окружності діаметра D, яка котиться без ковзання по направляючої кола радіуса R (дотик внутрішнє).

Побудова гіпоціклоіди виконується в наступній послідовності:

Виробляє коло радіуса r і спрямовуючу коло радіуса R проводять так, щоб вони стосувалися в точці А;

Виробляє окружність ділять на 12 рівних частин, отримують точки 1, 2, ... 12;

З центру 0 проводять допоміжну дугу радіусом рівним 000 \u003d R-r;

Центральний кут a визначають за формулою a \u003d 360r / R.

Ділять дугу направляючої окружності, обмежену кутом a, на 12 рівних частин, отримують точки 11, 21, ... 121;

З центру 0 через точки 11, 21, ... 121 проводять прямі до перетину з допоміжної дугою в точках 01, 02, ... 012;

З центру 0 проводять допоміжні дуги через точки поділу 1, 2, ... 12 виробляє кола;

З точок 01, 02, ... 012, як з центрів, проводять окружності радіуса r до перетину з допоміжними дугами в точках А1, А2, ... А12, які належать гіпоціклоіде.

1. Кардіоїда.

кардіоїда ( καρδία - серце, Кардіоїда є окремим випадком Термін «кардіоїда» введений Кастіллоном в 1741 році.

Якщо взяти окружність і в якості полюса точку на ній, то кардиоиду отримаємо тільки в тому випадку, якщо відкладати відрізки, рівні діаметру окружності. При інших величинах відкладаються відрізків конхоїда будуть подовжені або укорочені кардіоїди. Ці подовжені і укорочені кардіоїди називаються інакше равликами Паскаля.

Кардіоїда має різні застосування в техніці. У формі кардіоїди роблять ексцентрики, кулачки у машин. Нею користуються іноді при кресленні зубчастих коліс. Крім того, вона застосовується в оптичній техніці.

властивості кардіоїди

2) кардіоїд можна отримати і іншим способом. Відзначимо на колі точку Проі проведемо з неї промінь. Якщо від точки А перетину цього променя з окружністю відкласти відрізок АМ,по довжині рівний діаметру окружності, і промінь обертати навколо точки Про, То точка М буде рухатися по кардіоїд.

3) Кардіоїда може бути також представлена \u200b\u200bяк крива, що стосується всіх кіл, що мають центри на даній окружності і проходять через її фіксовану точку. Коли побудовані кілька кіл, кардіоїда виявляється побудованої як би сама собою.

4) Є ще настільки ж витончений, як, несподіваний спосіб побачити кардиоиду. На малюнку можна побачити точкове джерело світла на окружності. Після того як промені світла відіб'ються в перший раз від окружності, вони йдуть по дотичній до кардіоїд. Уявіть собі тепер, що окружність - це краю чашки, в одній точці її відбивається яскрава лампочка. У чашку налитий чорна кава, що дозволяє побачити яскраві відбиті промені. Кардіоїда в результаті виявляється виділеної променями світла.

1. Астроіда.

Астроіда (Від грец. Astron - зірка і eidos - вид), плоска крива, що описується точкою кола, яка стосується зсередини нерухомою кола вчетверо більшого радіусу і котиться по ній без ковзання. Належить до гіпоциклоїда. Астроіда - алгебраїчна крива 6-го порядку.

Довжина всієї астроїди дорівнює шести радіусів нерухомого кола, а площа, нею обмежена, - трьом восьмим нерухомого кола.

Відрізок дотичній до астроїда, укладений між двома взаємно перпендикулярними радіусами нерухомого кола, проведеними в вістря астроїди, дорівнює радіусу нерухомого кола, незалежно від того, як була обрана точка.

властивості астроїди

є чотирикаспій .

Довжина дуги від точки з 0 до обвідної