Bitta o'zgaruvchining funktsiyasini chiziqli ravishda taqqoslash bilan taqqoslaganda, bir nechta o'zgaruvchan funktsiya qiymatlarini taxminiy hisoblashda, bir nuqtada farqlanadigan, uning o'sishini differentsial bilan almashtirish mumkin. Shunday qilib, quyidagi formula bo'yicha bir nechta (masalan, ikkita) o'zgaruvchidan iborat funktsiyani taxminiy qiymatini topishingiz mumkin:

Misol.

Taxminan qiymatni hisoblang
.

Funktsiyani ko'rib chiqing
va tanlang x 0 = 1, da 0 = 2. Keyin Δ x \u003d1,02 - 1 \u003d 0,02; Δ y \u003d1.97 - 2 \u003d -0.03. Toping
,

Shuning uchun, buni hisobga olgan holda f (1, 2) \u003d 3, biz quyidagilarni olamiz:

Murakkab funktsiyalarni farqlash.

Funktsiya argumentlariga ruxsat bering z = f (x, y) siz va v: x = x (siz, v), y = y (siz, v). Keyin funktsiya f funktsiyasiga ega siz va v. Keling, argumentlarga nisbatan uning qisman hosilalarini qanday topish kerakligini bilib olaylik siz va v, to'g'ridan-to'g'ri almashtirishsiz

z \u003d f (x (u, v), y (u, v)). Bunday holda, biz ko'rib chiqilayotgan barcha funktsiyalar ularning barcha argumentlariga nisbatan qisman lotinlarga ega deb taxmin qilamiz.

Keling, argumentni o'rnatamiz siz o'sish Δ siz, argumentni o'zgartirmasdan v. Keyin

Agar siz o'sishni faqat argumentga o'rnatgan bo'lsangiz v, biz olamiz:. (2.8)

Tenglikning ikkala tomonini (2.7) Δ ga ajratamiz sizva (2.8) tengliklar Δ ga teng v va Δ uchun limitga o'ting siz→ 0 va Δ v→ 0. Biz funktsiyalarning uzluksizligi tufayli hisobga olamiz xva da ... Binobarin,

Keling, ba'zi bir alohida holatlarni ko'rib chiqaylik.

Bo'lsin x = x(t), y = y(t). Keyin funktsiya f (x, y) aslida bitta o'zgaruvchining funktsiyasi t va (2.9) formulalardan foydalanib, ularda qisman hosilalarni almashtirish mumkin x va da tomonidan siz va v nisbatan odatdagi hosilalarga t (albatta, funktsiyalarni farqlash sharti bilan x(t) va y(t) ) uchun ifoda oling :

(2.10)

Endi shunday deb taxmin qiling t o'zgaruvchan harakatlar x, ya'ni x va da nisbati bilan bog'liq y \u003d y (x). Bu holda, avvalgi holatda bo'lgani kabi, funktsiya f bitta o'zgaruvchining funktsiyasi x. (2.10) formuladan foydalanib t = x va buni hisobga olgan holda
, biz buni tushunamiz

. (2.11)

Ushbu formulada funktsiyaning ikkita hosilasi mavjudligini unutmang f argument bo'yicha x: chap tomonda deyiladi to'liq lotin, o'ngdagi xususiydan farqli o'laroq.

Misollar.

Keyin (2.9) formuladan quyidagilarni olamiz:

(Biz uchun iboralarni almashtiramiz xva da funktsiyalar sifatida siz va v).

Funksiyaning umumiy hosilasini toping z = gunoh ( x + y²), qaerda y = cos x.

Differentsialning invariantligi.

(2.5) va (2.9) formulalar yordamida biz funktsiyaning umumiy differentsialini ifoda etamiz z = f (x, y) qayerda x = x(siz, v), y = y(siz, v), o'zgaruvchilarning differentsiallari orqali siz va v:

(2.12)

Shuning uchun argumentlar uchun differentsialning yozuvi saqlanib qoladi siz va v ushbu argumentlarning funktsiyalari bilan bir xil xva da, ya'ni o'zgarmas (o'zgarishsiz).

Yashirin funktsiyalar, ularning mavjudligi shartlari. Yashirin funktsiyalarni farqlash. Yuqori darajadagi qisman hosilalar va differentsiallar, ularning xususiyatlari.

Ta'rif 3.1. Funktsiya da dan xtenglama bilan belgilanadi

F (x, y) \u003d0 , (3.1)

deb nomlangan yashirin funktsiya.

Albatta (3.1) shakldagi har bir tenglama aniqlamaydi da ning yagona qiymatli (va bundan tashqari, doimiy) funktsiyasi sifatida x... Masalan, ellips tenglamasi

deb so'raydi da ning ikki qiymatli funktsiyasi sifatida x:
uchun

Bir qiymatli va uzluksiz yopiq funktsiya mavjud bo'lish shartlari quyidagi teorema bilan belgilanadi:

Teorema 3.1 (dalil yo'q). Bo'lsin:

a) nuqtaning ba'zi mahallalarida ( x 0 , da 0 ) tenglama (3.1) belgilaydi da ning noaniq funktsiyasi sifatida x: y = f(x) ;

b) at x \u003d x 0 bu funktsiya qiymatni oladi da 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

c) funktsiya f (x) davomiy.

Bunday sharoitda biz funksiyaning hosilasini topamiz y = f (x) tomonidan x.

Teorema 3.2. Funktsiyaga ruxsat bering da dan xbilvosita (3.1) tenglama bilan berilgan, bu erda funktsiya F (x, y) 3.1-teorema shartlarini qondiradi. Bunga qo'shimcha ravishda,
- ma'lum bir sohada uzluksiz funktsiyalar D.o'z ichiga olgan nuqta (x, y),koordinatalari (3.1) tenglamani qondiradi va shu nuqtada
... Keyin funktsiya da dan x hosilasi bor

(3.2)

Misol. Toping , agar
... Toping
,
.

Keyin (3.2) formuladan quyidagilarni olamiz:
.

Yuqori darajadagi hosilalar va differentsiallar.

Funksiyaning qisman hosilalari z = f (x, y) o'z navbatida o'zgaruvchilarning funktsiyalari x va da... Shuning uchun ushbu o'zgaruvchilarga nisbatan ularning qisman hosilalarini topish mumkin. Keling, ularni shunday belgilaymiz:

Shunday qilib, ikkinchi darajali to'rtta qisman hosilalar olinadi. Ularning har biri yana tomonidan farqlanishi mumkin x va tomonidan da va uchinchi darajadagi sakkizta qisman hosilalarni oling va hokazo. Biz yuqori darajadagi hosilalarni quyidagicha aniqlaymiz:

Ta'rif 3.2.Qisman lotinn - tartib bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyasi hosilaning birinchi hosilasi deb ataladi ( n - 1) buyurtma.

Qisman hosilalar muhim xususiyatga ega: differentsiatsiya natijasi differentsiatsiya tartibiga bog'liq emas (masalan,
). Keling, ushbu so'zni isbotlaylik.

Teorema 3.3. Agar funktsiya bo'lsa z = f (x, y) va uning qisman hosilalari
nuqtada aniqlangan va doimiy M (x, y) va uning ba'zi mahallalarida, keyin bu erda

(3.3)

Natijada... Ushbu xususiyat har qanday tartibdagi hosilalar uchun va istalgan miqdordagi o'zgaruvchilar funktsiyalari uchun amal qiladi.

Differentsialnuqtadagi funktsiyalar argument o'sishiga nisbatan asosiy, chiziqli deb nomlanadi
funktsiyani oshirish qismi
, nuqtadagi funktsiya hosilasining ko'paytmasiga teng mustaqil o'zgaruvchining o'sishi bilan:

.

Shuning uchun funktsiya o'sishi
uning differentsialidan farq qiladi
cheksiz kichik qiymat bo'yicha va etarlicha kichik qiymatlar uchun biz taxmin qilishimiz mumkin
yoki

Yuqoridagi formuladan taxminiy hisob-kitoblarda foydalaniladi, bundan tashqari, kamroq
, formulasi qanchalik aniq bo'lsa.

3.1-misol.Taxminan hisoblang

Qaror... Funktsiyani ko'rib chiqing
... Bu quvvat funktsiyasi va uning hosilasi

Sifatida shartlarni qondiradigan raqamni olish talab qilinadi:

Qiymat
ma'lum yoki osonlik bilan hisoblab chiqilgan;

Raqam imkon qadar 33,2 ga yaqin bo'lishi kerak.

Bizning holatlarimizda ushbu talablar raqam bilan qondiriladi \u003d 32, buning uchun
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Formuladan foydalanib, kerakli sonni topamiz:

+
.

3.2-misol.Bir yil davomida bank foiz stavkasi yillik 5 foizni tashkil etsa, bankdagi depozitni ikki baravar oshirish vaqtini toping.

Qaror. Yil davomida hissa miqdori ortadi
marta, lekin uchun yil ichida hissasi ortadi
vaqt. Endi siz tenglamani echishingiz kerak:
\u003d 2. Logaritmani olsak, biz qayerdan olamiz
... Hisoblash uchun taxminiy formulani olamiz
... Faraz qiling
, toping
va taxminiy formulaga muvofiq. Bizning holatlarimizda
va
... Bu erdan. Chunki
, biz hissani ikki baravar oshirish vaqtini topamiz
yil.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

1. Funksiyaning nuqtadagi differentsialining ta'rifini bering.

2. Nega hisob-kitoblar uchun formuladan taxminiy foydalaniladi?

3. Raqam qanday shartlarni qondirishi kerak yuqoridagi formulaga kiritilganmi?

O'z-o'zini o'rganish vazifalari

Taxminan qiymatni hisoblang
, nuqtada almashtirish
funktsiyani oshirish
uning differentsiali.

3.1-jadval

4 . Funksiyalarni o'rganish va ularning grafiklarini chizish

Agar bitta o'zgaruvchining funktsiyasi formula sifatida berilgan bo'lsa
, keyin uning ta'rifi sohasi argumentning shunday qiymatlari to'plami deb ataladi , bu erda funktsiyaning qiymatlari aniqlanadi.

4.1-misol. Funktsiya qiymati
faqat radikal ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun aniqlanadi:
... Demak, funktsiya ta'rifi sohasi yarim intervaldir, chunki trigonometrik funktsiya qiymati
tengsizlikni qondirish: -1
1.

Funktsiya
deb nomlangan hatto,agar biron bir qiymat uchun bo'lsa uning ta'rifi sohasidagi tenglikdan

,

va g'alati,agar boshqa nisbat to'g'ri bo'lsa:
. Boshqa hollarda, funktsiya chaqiriladi funktsiya umumiy ko'rinish.

4.4-misol.Bo'lsin
. Tekshiramiz:. Shunday qilib, bu funktsiya tengdir.

Funktsiya uchun
to'g'ri. Shuning uchun bu funktsiya g'alati.

Oldingi funktsiyalar yig'indisi
umumiy funktsiyadir, chunki funktsiya unga teng emas
va
.

Asimptotafunktsional grafikalar
nuqtadan masofa ( ;
) tekislikning ushbu to'g'ri chiziqqa grafika nuqtasining boshidan cheksiz masofasi bilan nolga intiladi. Vertikal (4.1-rasm), gorizontal (4.2-rasm) va oblik (4.3-rasm) asimptotlar mavjud.

Shakl: 4.1. Jadval

Shakl: 4.2. Jadval

Shakl: 4.3. Jadval

Funktsiyaning vertikal asimptotalarini yoki ikkinchi turdagi uzilish nuqtalarida (funktsiyaning bir nuqtadagi hech bo'lmaganda bittasi cheksiz yoki yo'q) qidirish kerak, yoki uning aniqlanish sohasi oxirida.
, agar
- cheklangan raqamlar.

Agar funktsiya bo'lsa
butun son o'qida aniqlanadi va cheklangan chegara mavjud
yoki
, keyin tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq
, o'ng gorizontal asimptota va chiziq
- chap tomonli gorizontal asimptot.

Agar cheklangan chegaralar mavjud bo'lsa

va
,

keyin to'g'ri
funktsiya grafigining oblik asimptotasi. Qiya asimptota o'ng qo'li bilan ham bo'lishi mumkin (
) yoki chap qo'l (
).

Funktsiya
to'plamda o'sish deyiladi
agar mavjud bo'lsa
shu kabi >, tengsizlik quyidagicha:
>
(agar bir vaqtning o'zida kamayadi:
<
). Bir guruh
bu holda u funktsiyaning monotonlik oralig'i deb ataladi.

Funktsiyaning monotonligi uchun quyidagi etarli shart amal qiladi: agar to'plam ichida differentsial funktsiya hosilasi bo'lsa
ijobiy (manfiy), keyin funktsiya ushbu to'plamda ko'payadi (kamayadi).

4.5-misol. Funktsiya berilgan
... Uning ortish va kamayish oraliqlarini toping.

Qaror. Uning hosilasini toping
... Bu aniq \u003e 0 uchun \u003e 3 va <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
; 3) va (3; ga ko'payadi;
).

Nuqta nuqta deb nomlangan mahalliy maksimal (minimal) funktsiyalari
agar nuqtaning biron bir mahallasida bo'lsa tengsizlik mavjud
(
) ... Nuqtadagi funktsiya qiymati deb nomlangan maksimal (minimal). Maksimal va minimal funktsiyalar umumiy nom bilan birlashtirilgan ekstremum funktsiyalari.

Ishlash uchun
nuqtada ekstremumga ega edi bu erda uning hosilasi nolga teng bo'lishi kerak (
) yoki mavjud bo'lmagan.

Funksiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan nuqtalar deyiladi statsionarfunktsiya nuqtalari. Funktsiyaning ekstremumi statsionar nuqtada bo'lishi shart emas. Ekstremani topish uchun funktsiyaning statsionar nuqtalarini qo'shimcha ravishda o'rganish kerak, masalan, ekstremum uchun etarli shartlardan foydalangan holda.

Ulardan birinchisi, agar statsionar nuqtadan o'tayotganda chapdan o'ngga, differentsial funktsiya hosilasi belgini plyusdan minusga o'zgartiradi, so'ngra nuqtada mahalliy maksimalga erishiladi. Agar belgi minusdan plyusga o'zgargan bo'lsa, unda bu funktsiyaning minimal nuqtasi.

Agar o'rganilayotgan nuqtadan o'tayotganda hosila belgisida o'zgarish bo'lmasa, u holda bu erda ekstremum yo'q.

Statsionar nuqtada funktsiya ekstremumining ikkinchi etarli sharti funktsiyaning ikkinchi hosilasini ishlatadi: agar
<0, тоmaksimal nuqta va agar bo'lsa
\u003e 0, keyin minimal nuqta. Qachon
\u003d 0, ekstremum turiga oid savol ochiq qoladi.

Funktsiya
deb nomlangan qavariq (konkav) to'plamda
har qanday ikkita qiymat uchun bo'lsa
tengsizlik mavjud:

.

4.4-rasm. Qavariq funktsiya grafigi

Agar ikki marta differentsiallanadigan funktsiyaning ikkinchi hosilasi bo'lsa
to'plam ichida ijobiy (salbiy)
, keyin funktsiya to'plamda konkav (konveks) bo'ladi
.

Uzluksiz funktsiya grafigining burilish nuqtasi
funktsiyasi qavariq va botiq bo'lgan intervallarni ajratuvchi nuqta deyiladi.

Ikkinchi lotin
burilish nuqtasida ikki marta farqlanadigan funktsiya nolga teng, ya'ni
= 0.

Agar biron bir nuqtadan o'tayotganda ikkinchi hosila bo'lsa belgisini o'zgartiradi, keyin uning grafasining burilish nuqtasi.

Funksiyani tekshirishda va uning grafigini tuzishda quyidagi sxemadan foydalanish tavsiya etiladi:

Differentsial yaqinlashish

Ushbu darsda biz keng tarqalgan muammoni ko'rib chiqamiz differentsial yordamida funktsiya qiymatini taxminiy hisoblash to'g'risida... Keyinchalik, biz birinchi darajali differentsiallar haqida gaplashamiz; qisqalik uchun men ko'pincha "differentsial" deb aytaman. Differentsialdan foydalangan holda taxminiy hisob-kitoblar muammosi uni hal qilishning qat'iy algoritmiga ega va shuning uchun alohida qiyinchiliklar bo'lmasligi kerak. Yagona narsa shundaki, u erda kichik tuzoqlar ham tozalanadi. Shunday qilib, boshingizga sho'ng'ing.

Bundan tashqari, sahifada mutlaq va nisbiy hisoblash xatosini topish formulalari mavjud. Materiallar juda foydali, chunki boshqa muammolarda ham xatolarni hisoblash kerak. Fiziklar, sizning qarsaklaringiz qani? \u003d)

Misollarni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun siz hech bo'lmaganda o'rtacha darajadagi funktsiyalarning hosilalarini topishingiz kerak, shuning uchun agar differentsiatsiya qilishda mutlaqo muammo bo'lmasa, iltimos darsdan boshlang. Qanday qilib lotinni topish mumkin? Shuningdek, maqolani o'qishni tavsiya etaman Oddiy hosila muammolari, ya'ni paragraflar nuqtada hosilani topish va nuqtada differentsialni topish... Texnik vositalardan turli xil matematik funktsiyalarga ega bo'lgan mikro kalkulyator kerak. Siz Excel dasturidan foydalanishingiz mumkin, ammo bu holda unchalik qulay emas.

Seminar ikki qismdan iborat:

- bitta o'zgaruvchan funktsiya differentsialidan foydalangan holda taxminiy hisob-kitoblar.

- Ikki o'zgaruvchidan iborat funktsiyaning umumiy differentsialidan foydalangan holda taxminiy hisob-kitoblar.

Kimga nima kerak. Darhaqiqat, boylikni ikkita uyumga bo'lish mumkin edi, chunki ikkinchi xatboshida bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyalarining qo'llanilishi nazarda tutilgan. Lekin nima qilishim mumkin, men uzoq maqolalarni yaxshi ko'raman.

Taxminiy hisob-kitoblar
bitta o'zgaruvchining funktsiyasining differentsialidan foydalanish

Ko'rib chiqilayotgan vazifa va uning geometrik ma'nosi allaqachon darsda yoritilgan. Hosila nima? Va endi biz misollarni rasmiy ko'rib chiqish bilan cheklanib qolamiz, bu ularni qanday hal qilishni o'rganish uchun etarli.

Birinchi xatboshida bitta o'zgaruvchining qoidasi mavjud. Barchaga ma'lumki, u orqali yoki orqali ko'rsatiladi. Ushbu vazifa uchun ikkinchi yozuvni ishlatish ancha qulaydir. To'g'ridan-to'g'ri amalda tez-tez uchraydigan mashhur misolga o'tamiz:

1-misol

Qaror: Iltimos, daftaringizdagi differentsial yordamida taxminiy hisoblash uchun ishchi formulani qayta yozing:

Biz tushuna boshlaymiz, bu erda hamma narsa oddiy!

Birinchi qadam funktsiyani yaratishdir. Shart bo'yicha raqamning kubik ildizini hisoblash taklif qilindi:, shuning uchun mos funktsiya quyidagi shaklga ega:. Taxminan qiymatni topish uchun formuladan foydalanishimiz kerak.

Biz qaraymiz chap tomon formulalar va 67 raqami shaklda ifodalanishi kerak degan fikr xayolga keladi. Buning eng oson yo'li qanday? Men quyidagi algoritmni tavsiya qilaman: bu qiymatni kalkulyatorda hisoblang:
- bu quyruq bilan 4 chiqdi, bu yechim uchun muhim yo'nalish.

Biz "yaxshi" qiymatni quyidagicha tanlaymiz shuning uchun ildiz butunlay chiqarib olinadi... Tabiiyki, bu qiymat bo'lishi kerak iloji boricha yaqinroq dan 67. Bu holda :. Haqiqatdan ham:.

Eslatma: Tanlashda hali ham qiyinchilik tug'ilganda, hisoblangan qiymatga e'tibor bering (bu holda) ), eng yaqin tamsayı qismini oling (bu holda 4) va kerakli quvvatga ko'taring (bu holda). Natijada, kerakli tanlov amalga oshiriladi:.

Agar bo'lsa, u holda argument o'sishi :.

Shunday qilib, 67 raqami yig'indisi sifatida taqdim etiladi

Dastlab, funksiyaning nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz. Aslida, bu avvalroq qilingan:

Nuqtadagi differentsial quyidagi formula bilan topiladi:
- uni daftaringizga ham qayta yozishingiz mumkin.

Formuladan kelib chiqadiki, siz birinchi lotinni olishingiz kerak:

Va uning qiymatini nuqtada toping:

Shunday qilib:

Hammasi tayyor! Formulaga muvofiq:

Topilgan taxminiy qiymat qiymatga etarlicha yaqin mikrokalkulyator yordamida hisoblab chiqilgan.

Javob:

2-misol

Funktsiyaning o'sishini uning differentsiali bilan almashtirib, taxminan hisoblang.

Bu o'zingiz qilishingiz mumkin bo'lgan echimga misoldir. Tugatishning taxminiy misoli va dars oxirida javob. Yangi boshlanuvchilar uchun birinchi navbatda qaysi raqamni olish kerakligini va qaysi birini olish kerakligini aniqlash uchun mikrokalkulyatorda aniq qiymatni hisoblashni maslahat beraman. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu misolda salbiy bo'ladi.

Ba'zilarda savol tug'ilishi mumkin, nima uchun bu vazifa kerak, agar siz hamma narsani kalkulyatorda xotirjamroq va aniqroq hisoblab chiqsangiz? Qabul qilaman, vazifa ahmoq va sodda. Ammo men uni biroz oqlashga harakat qilaman. Birinchidan, vazifa differentsial funktsiya ma'nosini aks ettiradi. Ikkinchidan, qadimgi davrlarda kalkulyator hozirgi zamonda shaxsiy vertolyotga o'xshash narsa edi. Men o'zim 1985-86 yillarda qandaydir xona kattaligidagi kompyuterni mahalliy Politexnika institutidan qanday qilib uloqtirishganini ko'rdim (shaharning hamma joyidan tornavidali radio havaskorlar yugurib kelishdi va bir necha soatdan keyin faqat jasad birlikdan qoldi). Bizning fizika va matematika bo'limimizdan antiqa buyumlar topilgan, ammo o'lchamlari kichikroq - stolning bir joyida. Taxminan hisoblash usullari bilan ota-bobolarimiz shunday azob chekishdi. Ot aravachasi ham transport hisoblanadi.

Qanday bo'lmasin, muammo yuqori matematikaning standart kursida qoldi va uni hal qilish kerak bo'ladi. Bu sizning savolingizga asosiy javob \u003d)

3-misol

nuqtada. Mikrokalkulyator yordamida funksiyaning aniqroq qiymatini nuqtada hisoblang, hisoblashning mutlaq va nisbiy xatosini hisoblang.

Aslida, xuddi shu vazifani osonlikcha quyidagicha o'zgartirish mumkin: «Taxminan qiymatni hisoblang diferensialdan foydalanish "

Qaror: Biz tanish bo'lgan formuladan foydalanamiz:
Bunday holda, allaqachon tayyor funktsiya berilgan: ... Yana bir bor e'tiboringizni funktsiyani belgilash uchun "o'yin" o'rniga foydalanish qulayroq ekanligiga qaratmoqchiman.

Qiymat quyidagicha ko'rsatilishi kerak. Xo'sh, bu erda osonroq, biz 1.97 raqami "ikkiga" juda yaqin ekanligini ko'ramiz, shuning uchun u o'zini taklif qiladi. Va shuning uchun:.

Formuladan foydalanish , biz differentsialni bir xil nuqtada hisoblaymiz.

Birinchi hosilani toping:

Va uning qiymati:

Shunday qilib, nuqta bo'yicha differentsial:

Natijada, formulaga muvofiq:

Vazifaning ikkinchi qismi hisob-kitoblarning mutlaq va nisbiy xatosini topishdir.

Mutlaq va nisbiy hisoblash xatosi

Mutlaqo hisoblash xatosi quyidagi formula bo'yicha topiladi:

Modul belgisi shundan dalolat beradiki, biz uchun qaysi qiymat kattaroq, qaysi biri kamligini farqi yo'q. Muhim, qancha masofa taxminiy natija u yoki bu yo'nalishda aniq qiymatdan chetga chiqdi.

Nisbatan hisoblash xatosi quyidagi formula bo'yicha topiladi:
yoki, xuddi shunday:

Nisbatan xato ko'rsatiladi necha foizga taxminiy natija aniq qiymatdan chetga chiqdi. Formulaning 100% ga ko'paytirilmasdan versiyasi mavjud, ammo amalda men deyarli har doim yuqoridagi variantni foizlar bilan ko'raman.

Qisqa ma'lumotnomadan so'ng, muammoning funktsiyasining taxminiy qiymatini hisoblagan muammoga qaytaylik differentsial yordamida.

Mikrokalkulyator yordamida funksiyaning aniq qiymatini hisoblaymiz:
, aniq aytganda, qiymat hali ham taxminiy, ammo biz uni to'g'ri deb hisoblaymiz. Bunday vazifalarga duch kelamiz.

Keling, mutlaq xatoni hisoblaymiz:

Nisbatan xatoni hisoblaymiz:
, foizlarning mingdan bir qismi olinadi, shuning uchun differentsial juda yaxshi yaqinlikni ta'minladi.

Javob: , mutlaq hisoblash xatosi, nisbiy hisoblash xatosi

Mustaqil echim uchun quyidagi misol:

4-misol

Funktsiyaning qiymatini taxminan differentsial yordamida hisoblang nuqtada. Funktsiyaning berilgan nuqtada aniqroq qiymatini hisoblang, hisoblashning mutlaq va nisbiy xatosini hisoblang.

Tugatishning taxminiy misoli va dars oxirida javob.

Ko'pchilik ildizlarning ko'rib chiqilgan barcha misollarda paydo bo'lishini payqashdi. Bu tasodifiy emas; aksariyat hollarda ko'rib chiqilayotgan muammo ildizlarga ega funktsiyalarni taklif qiladi.

Ammo azob chekayotgan o'quvchi uchun men arkni bilan kichik bir misolni topdim:

5-misol

Funktsiyaning qiymatini taxminan differentsial yordamida hisoblang nuqtada

Ushbu qisqa, ammo ma'lumot beruvchi misol ham mustaqil echim uchun. Va yangi kuch bilan maxsus vazifani ko'rib chiqish uchun biroz dam oldim:

6-misol

Taxminan differentsial yordamida hisoblang, natijani ikki kasrgacha aylantiring.

Qaror: Topshiriqda qanday yangiliklar bor? Shart bo'yicha, natijani ikki kasrga aylantirish kerak. Ammo gap bu erda emas, maktabni yaxlitlash muammosi, menimcha, siz uchun qiyin emas. Haqiqat shundaki, bizda tangens bor darajalarda ifodalangan argument bilan... Sizdan trigonometrik funktsiyani gradus bilan echish so'ralganda nima qilish kerak? Masalan, va hokazo.

Yechish algoritmi tubdan saqlanib qoladi, ya'ni avvalgi misollarda bo'lgani kabi formulani qo'llash zarur

Aniq funktsiyani yozish

Qiymat quyidagicha ifodalanishi kerak. Jiddiy yordam ko'rsatiladi trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali... Aytgancha, kim uni bosib chiqarmagan bo'lsa, men buni qilishni maslahat beraman, chunki siz yuqori matematikani o'rganish davomida u erga qarashingiz kerak bo'ladi.

Jadvalni tahlil qilsak, biz tanjensning 47 darajaga yaqin "yaxshi" qiymatini sezamiz:

Shunday qilib:

Dastlabki tahlildan so'ng darajalar radianlarga aylantirilishi kerak... Shunday qilib, va faqat shunday!

Ushbu misolda to'g'ridan-to'g'ri trigonometrik jadvaldan buni bilib olishingiz mumkin. Darajalarni radianlarga o'tkazish formulasiga muvofiq: (formulalarni bitta jadvalda topish mumkin).

Keyinchalik qozon plitasi:

Shunday qilib: (biz hisob-kitoblarda qiymatdan foydalanamiz). Natija, shartga binoan, ikki kasrga yaxlitlanadi.

Javob:

7-misol

Taxminan differentsial yordamida hisoblang, natijani o'nli kasrgacha aylantiring.

Bu o'zingiz qilishingiz mumkin bo'lgan echimga misoldir. To'liq echim va o'quv oxirida javob bering.

Ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q, biz darajalarni radianlarga o'tkazamiz va odatdagi echim algoritmiga rioya qilamiz.

Taxminiy hisob-kitoblar
ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining umumiy differentsialidan foydalangan holda

Hammasi juda o'xshash bo'ladi, shuning uchun agar siz ushbu sahifani ushbu topshiriq bilan kiritgan bo'lsangiz, avval avvalgi xatboshining kamida ikkita misolini ko'rib chiqishingizni maslahat beraman.

Paragrafni o'rganish uchun siz uni topishingiz kerak ikkinchi darajali qisman hosilalari, qaerda ularsiz. Yuqoridagi darsda men ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini harf orqali belgiladim. Ko'rib chiqilayotgan vazifaga nisbatan, unga teng keladigan yozuvlardan foydalanish qulayroq.

Bitta o'zgaruvchining funktsiyasi misolida bo'lgani kabi, masalaning sharti har xil shaklda tuzilishi mumkin va men duch kelgan barcha formulalarni ko'rib chiqishga harakat qilaman.

8-misol

Qaror:Shart qanday yozilmasin, funktsiyani belgilaydigan echimning o'zida, takror aytaman, "z" harfi emas, balki ishlatilishi yaxshiroqdir.

Va bu erda ishlaydigan formula:

Bizning oldimizda aslida avvalgi xatboshi formulasining katta opasi bor. O'zgaruvchan kattalashdi. Nima deyishim mumkin, o'zim echim algoritmi aslida bir xil bo'ladi!

Shartga ko'ra, funktsiyani nuqtada taxminiy qiymatini topish talab qilinadi.

Biz 3.04 raqamini quyidagicha ifodalaymiz. Gingerbread odam o'zi eyishni so'raydi:
,

Biz 3.95 raqamini quyidagicha ifodalaymiz. Navbat Kolobokning ikkinchi yarmiga keldi:
,

Va har xil tulki hiyla-nayranglariga qaramang, gingerbread odam bor - uni eyishingiz kerak.

Funktsiyaning qiymatini nuqtada hisoblaymiz:

Funktsiyaning differentsialini bir nuqtada quyidagi formula bo'yicha topamiz:

Formuladan quyidagilarni topish kerak qisman hosilalar birinchi tartib va \u200b\u200bularning qiymatlarini bir nuqtada hisoblash.

Birinchi darajadagi qisman hosilalarini nuqtada hisoblab chiqamiz:

Nuqtada to'liq differentsial:

Shunday qilib, formulaga muvofiq, funktsiyaning nuqtadagi taxminiy qiymati:

Funktsiyaning aniq qiymatini nuqtada hisoblaymiz:

Ushbu qiymat mutlaqo to'g'ri.

Xatolar ushbu maqolada allaqachon muhokama qilingan standart formulalar yordamida hisoblanadi.

Mutlaqo xato:

Nisbatan xato:

Javob: , mutlaq xato:, nisbiy xato:

9-misol

Funksiyaning taxminiy qiymatini hisoblang to'liq differentsialdan foydalangan holda, mutlaq va nisbiy xatoni baholang.

Bu o'zingiz qilishingiz mumkin bo'lgan echimga misoldir. Ushbu misolda batafsilroq to'xtaladigan har bir kishi hisoblash xatolarining juda sezilarli bo'lib chiqqanligiga e'tibor beradi. Bu quyidagi sababga ko'ra sodir bo'ldi: taklif qilingan masalada argumentlarning o'sishi etarlicha katta:. Umumiy qoida shundan iboratki, bu o'sish mutlaq qiymatda qanchalik katta bo'lsa, hisob-kitoblarning aniqligi past bo'ladi. Masalan, shunga o'xshash nuqta uchun o'sish kichik bo'ladi: va taxminiy hisob-kitoblarning aniqligi juda yuqori bo'ladi.

Bu xususiyat bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun ham to'g'ri keladi (darsning birinchi qismi).

10-misol

Qaror: Ushbu ifodani taxminan ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining umumiy differentsiali yordamida hisoblab chiqamiz:

8-9-misollardan farqi shundaki, biz avval ikkita o'zgaruvchidan iborat funktsiya tuzishimiz kerak: ... Funktsiya qanday tuzilgan, menimcha, hamma uchun intuitiv.

4.9973 qiymati "beshlikka" yaqin, shuning uchun:,.
0.9919 qiymati "bitta" ga yaqin, shuning uchun biz quyidagilarni qabul qilamiz:,.

Funktsiyaning qiymatini nuqtada hisoblaymiz:

Nuqtadagi differentsial quyidagi formula bilan topiladi:

Buning uchun biz birinchi darajali qisman hosilalarini nuqtada hisoblaymiz.

Bu erda hosilalar eng osoni emas va siz ehtiyot bo'lishingiz kerak:

;

.

Nuqtada to'liq differentsial:

Shunday qilib, ushbu ifodaning taxminiy qiymati:

Mikrokalkulyator yordamida aniqroq qiymatni hisoblab chiqamiz: 2.998899527

Keling, nisbiy hisoblash xatosini topaylik:

Javob: ,

Yuqoridagilarning birgina illyustratsiyasi, ko'rib chiqilayotgan masalada argumentlarning o'sishi juda kichik va xato juda kam bo'lib chiqdi.

11-misol

Ikki o'zgaruvchining funktsiyasining to'liq differentsialidan foydalanib, ushbu ifodaning taxminiy qiymatini hisoblang. Kalkulyator yordamida bir xil ifodani hisoblang. Nisbatan hisoblash xatosining foizini taxmin qiling.

Bu o'zingiz qilishingiz mumkin bo'lgan echimga misoldir. Dars oxirida tugatishning taxminiy misoli.

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, ushbu turdagi topshiriqlarda eng tez-tez mehmonlar bu qandaydir ildizlardir. Ammo vaqti-vaqti bilan boshqa funktsiyalar mavjud. Va dam olish uchun oxirgi oddiy misol:

12-misol

Ikki o'zgaruvchidan iborat funktsiyaning umumiy differentsialidan foydalanib, agar funktsiyani taxminiy qiymatini hisoblang

Yechim sahifaning pastki qismiga yaqinroq. Yana bir bor, dars topshiriqlarining so'zlariga e'tibor bering, turli xil misollarda amalda formulalar boshqacha bo'lishi mumkin, ammo bu yechimning mohiyati va algoritmini tubdan o'zgartirmaydi.

Rostini aytsam, biroz charchadim, chunki material zerikarli edi. Maqolaning boshida buni aytish pedagogik emas edi, ammo hozir bu allaqachon mumkin bo'lgan \u003d) Darhaqiqat, hisoblash matematikasi muammolari odatda unchalik qiyin emas, unchalik qiziq emas, eng muhimi, ehtimol oddiy hisob-kitoblarda xato qilmaslikdir.

Kalkulyatoringiz tugmachalari o'chirilmasin!

Yechimlar va javoblar:

2-misol: Qaror: Biz quyidagi formuladan foydalanamiz:
Ushbu holatda: , ,

Shunday qilib:
Javob:

4-misol: Qaror: Biz quyidagi formuladan foydalanamiz:
Ushbu holatda: , ,

Keng tarqalgan muammoni ko'rib chiqing differentsial yordamida funktsiya qiymatini taxminiy hisoblash to'g'risida.

Keyinchalik, biz birinchi darajadagi differentsiallar haqida gaplashamiz, qisqalik uchun biz ko'pincha "differentsial" deb aytamiz. Differentsialdan foydalangan holda taxminiy hisob-kitoblar muammosi uni hal qilishning qat'iy algoritmiga ega va shuning uchun alohida qiyinchiliklar bo'lmasligi kerak. Yagona narsa shundaki, u erda ham mayda-chuyda tuzoqlar tozalanadi. Shunday qilib, boshingizga sho'ng'ing.

Bundan tashqari, bo'limda mutlaq va nisbiy hisoblash xatolarini topish formulalari mavjud. Materiallar juda foydali, chunki boshqa muammolarda ham xatolarni hisoblash kerak.

Misollarni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun siz hech bo'lmaganda o'rtacha darajadagi funktsiyalarning derivativlarini topishingiz kerak, shuning uchun agar differentsiatsiya qilishda hech qanday muammo bo'lmasa, iltimos nuqtada hosilani topish va bilan nuqtada differentsialni topish... Texnik vositalardan turli xil matematik funktsiyalarga ega bo'lgan mikro kalkulyator kerak. MS Excel imkoniyatlaridan foydalanishingiz mumkin, ammo bu holda unchalik qulay emas.

Dars ikki qismdan iborat:

- Bitta o'zgaruvchiga teng bo'lgan funktsiya qiymatining differentsialidan foydalangan holda taxminiy hisob-kitoblar.

- Bir nuqtada ikkita o'zgaruvchidan iborat funktsiya qiymatining umumiy differentsialidan foydalangan holda taxminiy hisob-kitoblar.

Ko'rib chiqilayotgan vazifa differentsial tushunchasi bilan chambarchas bog'liq, ammo bizda lotin va differentsialning ma'nosi bo'yicha hali dars bo'lmaganligi sababli, biz misollarni rasmiy ko'rib chiqish bilan cheklanib qolamiz, bu ularni qanday hal qilishni o'rganish uchun etarli.

Bitta o'zgaruvchan funktsiya differentsialidan foydalangan holda taxminiy hisob-kitoblar

Birinchi xatboshida bitta o'zgaruvchining qoidasi mavjud. Barchaga ma'lumki, bu ko'rsatiladi yyoki orqali f(x). Ushbu vazifa uchun ikkinchi yozuvni ishlatish ancha qulaydir. To'g'ridan-to'g'ri amalda tez-tez uchraydigan mashhur misolga o'tamiz:

1-misol

Qaror: Iltimos, daftaringizdagi differentsial yordamida taxminiy hisoblash uchun ishchi formulani qayta yozing:

Biz tushuna boshlaymiz, bu erda hamma narsa oddiy!

Birinchi qadam funktsiyani yaratishdir. Shartga ko'ra raqamning kub ildizini hisoblash taklif qilindi:, shuning uchun mos funktsiya quyidagi shaklga ega:.

Taxminan qiymatni topish uchun formuladan foydalanishimiz kerak.

Biz qaraymiz chap tomon formulalar va 67 raqami shaklda ifodalanishi kerak degan fikr xayolga keladi. Buning eng oson yo'li qanday? Men quyidagi algoritmni tavsiya qilaman: bu qiymatni kalkulyatorda hisoblang:

- bu quyruq bilan 4 chiqdi, bu yechim uchun muhim yo'nalish.

Sifatida x 0 biz "yaxshi" qiymatni tanlaymiz, shuning uchun ildiz butunlay chiqarib olinadi... Tabiiyki, bu qiymat x 0 bo'lishi kerak iloji boricha yaqinroq67 ga.

Ushbu holatda x 0 \u003d 64. Haqiqatan ham ,.

Izoh: pick bilan qachonx 0 hali ham qiyinchilik bor, faqat hisoblangan qiymatga qarang (bu holda) ), eng yaqin tamsayı qismini oling (bu holda 4) va kerakli quvvatga ko'taring (bu holda) ). Natijada, kerakli tanlov amalga oshiriladi.x 0 = 64.

Agar x 0 \u003d 64, u holda argument o'sishi:.

Shunday qilib, 67 raqami yig'indisi sifatida taqdim etiladi

Dastlab, funksiyaning nuqtadagi qiymatini hisoblang x 0 \u003d 64. Aslida, bu avvalroq qilingan:

Bir nuqtadagi differentsial quyidagi formula bilan topiladi:

- shuningdek, ushbu formulani daftaringizga qayta yozishingiz mumkin.

Formuladan kelib chiqadiki, siz birinchi lotinni olishingiz kerak:

Va uning ma'nosini nuqtada toping x 0:

.

Shunday qilib:

Hammasi tayyor! Formulaga muvofiq:

Topilgan taxminiy qiymat mikrokalkulyator yordamida hisoblangan 4.06154810045 qiymatiga etarlicha yaqin.

Javob:

2-misol

Funktsiyaning o'sishini uning differentsiali bilan almashtirib, taxminan hisoblang.

Bu o'zingiz qilishingiz mumkin bo'lgan echimga misoldir. Tugatishning taxminiy misoli va dars oxirida javob. Yangi boshlanuvchilar uchun qaysi raqamni olish kerakligini bilish uchun birinchi navbatda mikro kalkulyatorda aniq qiymatni hisoblashni tavsiya etaman x 0, va qaysi - Δ uchun x... Shuni ta'kidlash kerakki, Δ xushbu misolda salbiy bo'ladi.

Ba'zilarda savol tug'ilishi mumkin, nima uchun bu vazifa kerak, agar siz hamma narsani kalkulyatorda xotirjamroq va aniqroq hisoblab chiqsangiz? Qabul qilaman, vazifa ahmoq va sodda. Ammo men uni biroz oqlashga harakat qilaman. Birinchidan, vazifa differentsial funktsiya ma'nosini aks ettiradi. Ikkinchidan, qadimgi davrlarda kalkulyator bizning davrimizda shaxsiy vertolyotga o'xshash narsa edi. Men o'zim 1985-86 yillarda institutlarning biridan xona kattaligidagi kompyuterni qanday qilib uloqtirishganini ko'rdim (shaharning hamma joyidan tornavida bilan ishlaydigan havaskorlar yugurib kelishdi va bir necha soatdan keyin faqat jasad birlikdan qoldi). Bizning fizika bo'limimizdan antiqa buyumlar ham topilgan, ammo o'lchamlari kichikroq - stolning bir joyida. Taxminan hisoblash usullari bilan ota-bobolarimiz shunday azob chekishdi. Ot aravachasi ham transport hisoblanadi.

Qanday bo'lmasin, muammo yuqori matematikaning standart kursida qoldi va uni hal qilish kerak bo'ladi. Bu sizning savolingizga asosiy javob \u003d).

3-misol

Funktsiyaning qiymatini taxminan differentsial yordamida hisoblang nuqtada x \u003d 1.97. Nuqtada aniqroq funktsiya qiymatini hisoblang x \u003d 1.97 mikrokalkulyator yordamida absolyut va nisbiy hisoblash xatolarini baholang.

Aslida, bu vazifani osongina quyidagi tarzda qayta tuzish mumkin: «Taxminan qiymatni hisoblang diferensialdan foydalanish "

Qaror:Biz tanish bo'lgan formuladan foydalanamiz:

Bunday holda, allaqachon tayyor funktsiya berilgan: ... Yana bir bor e'tiboringizni undan foydalanish qulayroq ekanligiga qarataman f(x).

Qiymat x \u003d 1.97 quyidagicha ifodalanishi kerak x 0 = Δ x... Xo'sh, bu erda osonroq, biz 1.97 raqami "ikkiga" juda yaqin ekanligini ko'ramiz, shuning uchun u o'zini taklif qiladi x 0 \u003d 2. Va shuning uchun :.

Funktsiyaning qiymatini nuqtada hisoblaymiz x 0 = 2:

Formuladan foydalanish , biz differentsialni bir xil nuqtada hisoblaymiz.

Birinchi hosilani toping:

Va uning nuqtadagi qiymati x 0 = 2:

Shunday qilib, nuqta bo'yicha differentsial:

Natijada, formulaga muvofiq:

Vazifaning ikkinchi qismi hisob-kitoblarning mutlaq va nisbiy xatosini topishdir.

Mutlaqo xato

Ta'rif

Miqdorning aniq va taxminiy u0 qiymati o'rtasidagi absolyut farqning kattaligi u0 ning taxminiy qiymatining mutlaq xatosi deyiladi. Mutlaq xato $ \\ Delta $ u bilan belgilanadi:

$ \\ Delta u \u003d | u - u0 | $

Ko'pincha $ u $ ning aniq qiymati va shuning uchun $ \\ Delta $ u $ ning mutlaq xatosi noma'lum. Shuning uchun mutlaq xato chegarasi tushunchasi kiritilgan.

Taxminan qiymatdagi xato chegarasi

Ta'rif

Mutlaq xatodan katta yoki unga teng bo'lgan har qanday ijobiy son taxminiy qiymatning chegarasi:

\\ [| u-u_ (0) | \u003d \\ Delta _ (u) \\ le \\ overline (\\ Delta _ (u)) \\]

Shunday qilib, qiymatning aniq qiymati $ u_ (0) - \\ overline (\\ Delta _ (u)) $ va $ u_ (0) + \\ overline (\\ Delta _ (u)) $ orasida mavjud.

Agar ma'lum bir u miqdorini topishda absolyut xatoning chegarasi $ \\ overline (\\ Delta _ (u)) $ ga teng bo'lsa, u $ u $ \\ overline (\\ Delta _ (u)) $ aniqlik bilan topilgan deyiladi.

Nisbiy xato va uning chegarasi

Ta'rif

Nisbiy xatolik $ \\ Delta $ u absolyut xatosining o'lchangan qiymatning taxminiy qiymati u0 moduliga nisbati.

$ \\ Delta $ u belgisi bilan nisbiy xatoni belgilab olamiz

\\ [\\ delta _ (u) \u003d \\ frac (\\ Delta _ (u)) (\\ chap | u_ (0) \\ o'ng |) \\]

Ta'rif

Nisbiy xato chegarasi - bu absolyut xato chegarasining o'lchangan kattalikning taxminiy qiymati moduliga nisbati:

\\ [\\ overline (\\ delta _ (u)) \u003d \\ frac (\\ overline (\\ Delta _ (u))) (\\ chap | u_ (0) \\ o'ng |) \\]

$ \\ delta _ (u) $ va $ \\ overline (\\ delta _ (u)) $ odatda foiz sifatida ifodalanadi.

Differentsial funktsiya

Funktsiyaning differentsiali dy bilan belgilanadi va quyidagi shaklga ega:

dy \u003d f "(x) $ \\ Delta $ x

Ba'zi hollarda funktsiya o'sishini hisoblash funktsiyani differentsialini hisoblash bilan almashtiriladi. Funktsiyaning differentsialini hisoblash osonroq, chunki mahsulotni mustaqil o'zgaruvchiga hisoblash uchun faqat uning hosilasini topishni talab qiladi:

\\ [\\ Delta y \\ taxminan dy \\]

Chunki

Funktsiyaning oshirilgan qiymati quyidagi shaklga ega:

Ushbu taxminiy formuladan foydalanib, $ x + \\ Delta x $ nuqtasida funktsiyaning taxminiy qiymatini, funktsiyaning ma'lum qiymatiga x ga yaqin topishingiz mumkin.

Taxminiy hisob-kitoblar uchun quyidagi formula qo'llaniladi:

\\ [(1+ \\ Delta x) ^ (n) \\ taxminan 1 + n \\ Delta x \\]

Masalan:

1. Taxminan $ (1.02) ^ 3 $ ni hisoblang

Bu erda $ \\ Delta $ x \u003d 0.03, n \u003d 5

\\ [(1.02) ^ (3) \\ taxminan 1 + 0.02 \\ cdot 3 \\]

Bu erda $ \\ Delta $ x \u003d 0.03, n \u003d 5

\\ [(1.02) ^ (3) \\ taxminan 1.06 \\]

2. Taxminan $ \\ sqrt (1.005) $ ni hisoblang

$ \\ Delta $ x \u003d 0.005, n \u003d 0.5

\\ [\\ sqrt (1.005) \\ taxminan 1 + 0.5 \\ cdot 0.005 \\] \\ [\\ sqrt (1.005) \\ taxminan 1.0025 \\]

1-misol

Balandligi H \u003d 40 sm bo'lgan silindr hajmining taxminan o'sishini hisoblang. va taglik radiusi 0,5 sm ga oshishi bilan R \u003d 30 sm taglik.

Qaror. V silindrning hajmi doimiy balandligi H va o'zgaruvchan taglik radiusi R bo'lgan shaklning funktsiyasi:

Funktsiyaning o'sishini yozamiz:

\\ \\ [\\ Delta V \\ taxminan 2 \\ pi HR \\ cdot \\ Delta R \\]

Ma'lum bo'lgan miqdorlarni almashtiring

\\ [\\ Delta V \\ taxminan 2 \\ pi \\ cdot 40 \\ cdot 30 \\ cdot 0.5 \u003d 1200 \\ pi \\ taxminan 3770 sm ^ (3) \\]

2-misol

To'g'ridan-to'g'ri o'lchov bilan aylananing diametri 5,2 sm, maksimal o'lchov xatosi esa 0,01 ekanligi aniqlandi. Ushbu doiraning hisoblangan maydonidagi taxminiy nisbiy va foiz xatolarini toping.

Maydonni hisoblashda nisbiy xato quyidagi formula bo'yicha topiladi:

\\ [\\ delta _ (s) \u003d \\ frac (\\ Delta s) (s) \\]

Taxminan qiymat $ \\ Delta $ s ni ds ga almashtirish orqali olinadi. Shuning uchun taxminiy hisoblash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:

\\ [\\ delta _ (s) \u003d \\ frac (ds) (s) \\]

Radiusi x bo'lgan aylananing maydoni:

\ \

Shunday qilib,

\\ [\\ delta _ (s) \u003d \\ frac (\\ frac (1) (2) \\ pi xdx) (\\ frac (1) (4) \\ pi x ^ (2)) \u003d 2 \\ frac (dx) (x) )]

X va dx raqamli qiymatlar bilan almashtiring

\\ [\\ delta _ (s) \u003d 2 \\ frac (0.01) (5.2) \\ taxminan 0.004 \\]

(bu 4% xato)