Verdure in serra
08.08.2020

Modulo per definizione. Determinazione del modulo di un numero

Modulo di numeri questo numero stesso viene chiamato se è non negativo, oppure lo stesso numero con il segno opposto se è negativo.

Ad esempio, il modulo del numero 5 è 5, e anche il modulo del numero –5 è 5.

Cioè, per modulo di un numero si intende il valore assoluto, il valore assoluto di questo numero senza tener conto del suo segno.

Indicato come segue: |5|, | X|, |UN| eccetera.

Regola:

Spiegazione:

|5| = 5
Si legge così: il modulo del numero 5 è 5.

|–5| = –(–5) = 5
Si legge così: il modulo del numero –5 è 5.

|0| = 0
Si legge così: il modulo di zero è zero.

Proprietà del modulo:

1) Il modulo di un numero è un numero non negativo:

|UN| ≥ 0

2) I moduli dei numeri opposti sono uguali:

|UN| = |–UN|

3) Il quadrato del modulo di un numero è uguale al quadrato di questo numero:

|UN| 2 = un 2

4) Numero modulo prodotto uguale al prodotto moduli di questi numeri:

|UN · B| = |UN| · | B|

6) Il modulo di un numero quoziente è uguale al rapporto tra i moduli di questi numeri:

|UN : B| = |UN| : |B|

7) Il modulo della somma dei numeri è inferiore o uguale alla somma dei loro moduli:

|UN + B| ≤ |UN| + |B|

8) Il modulo della differenza tra numeri è inferiore o uguale alla somma dei loro moduli:

|UN – B| ≤ |UN| + |B|

9) Il modulo della somma/differenza dei numeri è maggiore o uguale al modulo della differenza dei loro moduli:

|UN ± B| ≥ ||UN| – |B||

10) Dal segno del modulo si può togliere un moltiplicatore positivo costante:

|M · UN| = M · | UN|, M >0

11) La potenza di un numero può essere tolta dal segno del modulo:

|UN k | = | UN| k se k esiste

12) Se | UN| = |B|, quindi UN = ± B

Significato geometrico modulo.

Il modulo di un numero è la distanza da zero a quel numero.

Ad esempio, prendiamo di nuovo il numero 5. La distanza da 0 a 5 è la stessa che da 0 a –5 (Fig. 1). E quando è importante per noi conoscere solo la lunghezza del segmento, allora il segno non ha solo significato, ma anche significato. Tuttavia, questo non è del tutto vero: misuriamo la distanza solo con numeri positivi – o numeri non negativi. Sia il prezzo di divisione della nostra scala 1 cm. Allora la lunghezza del segmento da zero a 5 è 5 cm, anche da zero a –5 è 5 cm.

In pratica, la distanza viene spesso misurata non solo da zero: il punto di riferimento può essere un numero qualsiasi (Fig. 2). Ma questo non cambia l'essenza. Notazione della forma |a – b| esprime la distanza tra i punti UN E B sulla linea dei numeri.

Esempio 1. Risolvi l'equazione | X – 1| = 3.

Soluzione.

Il significato dell'equazione è che la distanza tra i punti X e 1 è uguale a 3 (Fig. 2). Pertanto, dal punto 1 contiamo tre divisioni a sinistra e tre divisioni a destra - e vediamo chiaramente entrambi i valori X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Possiamo calcolarlo.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Risposta : X 1 = –2; X 2 = 4.

Esempio 2. Trova il modulo di espressione:

Soluzione.

Per prima cosa, scopriamo se l'espressione è positiva o negativa. Per fare ciò, trasformiamo l'espressione in modo che sia composta da numeri omogenei. Non cerchiamo la radice di 5: è abbastanza difficile. Facciamolo in modo più semplice: eleviamo 3 e 10 alla radice, quindi confrontiamo la grandezza dei numeri che compongono la differenza:

3 = √9. Pertanto, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Vediamo che il primo numero è minore del secondo. Ciò significa che l'espressione è negativa, cioè la sua risposta è meno di zero:

3√5 – 10 < 0.

Ma secondo la regola, il modulo di un numero negativo è lo stesso numero con segno opposto. Abbiamo un'espressione negativa. Pertanto è necessario cambiarne il segno in quello opposto. L’espressione opposta per 3√5 – 10 è –(3√5 – 10). Apriamo le parentesi e otteniamo la risposta:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Risposta .

a è il numero stesso. Numero nel modulo:

|a| = un

Modulo di un numero complesso.

Supponiamo che ci sia numero complesso, che si scrive in forma algebrica z=x+i·y, Dove X E sì- numeri reali, che rappresentano parti reali e immaginarie numero complesso z, a è l'unità immaginaria.

Modulo di un numero complesso z=x+i·yè la radice quadrata aritmetica della somma dei quadrati delle parti reale e immaginaria di un numero complesso.

Il modulo di un numero complesso z è indicato come segue, il che significa che la definizione del modulo di un numero complesso può essere scritta come segue: .

Proprietà del modulo dei numeri complessi.

  • Dominio di definizione: l'intero piano complesso.
  • Intervallo di valori: }

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