Area del segmento per raggio e altezza. Geometria del cerchio

Il cerchio, le sue parti, le loro dimensioni e relazioni sono cose con cui un gioielliere incontra costantemente. Anelli, braccialetti, caste, tubi, sfere, spirali: bisogna realizzare molte cose rotonde. Come puoi calcolare tutto questo, soprattutto se hai avuto la fortuna di saltare le lezioni di geometria a scuola?..

Diamo prima un'occhiata a quali parti ha un cerchio e come vengono chiamate.

• Un cerchio è una linea che racchiude un cerchio.
• Un arco è una parte di un cerchio.
• Il raggio è un segmento che collega il centro di una circonferenza con un punto qualsiasi della circonferenza.
• Una corda è un segmento che collega due punti su una circonferenza.
• Un segmento è una parte di cerchio delimitata da una corda e da un arco.
• Un settore è una parte di cerchio delimitata da due raggi e da un arco.

Le quantità che ci interessano e le loro designazioni:

Vediamo ora quali problemi relativi alle parti di un cerchio devono essere risolti.

• Trova la lunghezza dello sviluppo di una qualsiasi parte dell'anello (braccialetto). Dati il ​​diametro e la corda (opzione: diametro e angolo al centro), trovare la lunghezza dell'arco.
• C'è un disegno su un piano, devi scoprirne le dimensioni in proiezione dopo averlo piegato in un arco. Dati la lunghezza e il diametro dell'arco, trovare la lunghezza della corda.
• Scopri l'altezza della parte ottenuta piegando un pezzo piatto in un arco. Opzioni dati sorgente: lunghezza e diametro dell'arco, lunghezza dell'arco e corda; trovare l'altezza del segmento.

La vita ti darà altri esempi, ma questi li ho fatti solo per mostrare la necessità di impostare alcuni due parametri per trovare tutti gli altri. Questo è ciò che faremo. Vale a dire, prenderemo cinque parametri del segmento: D, L, X, φ e H. Quindi, scegliendo da essi tutte le possibili coppie, li considereremo come dati iniziali e troveremo tutto il resto tramite un brainstorming.

Per non appesantire inutilmente il lettore, non fornirò soluzioni dettagliate, ma presenterò solo i risultati sotto forma di formule (nei casi in cui non esiste una soluzione formale, parlerò strada facendo).

E ancora una nota: sulle unità di misura. Tutte le quantità, tranne l'angolo al centro, sono misurate nelle stesse unità astratte. Ciò significa che se, ad esempio, si specifica un valore in millimetri, non è necessario specificare l'altro in centimetri e i valori risultanti verranno misurati negli stessi millimetri (e aree in millimetri quadrati). Lo stesso si può dire per pollici, piedi e miglia nautiche.

E solo l'angolo centrale in tutti i casi viene misurato in gradi e nient'altro. Perché, come regola generale, le persone che progettano qualcosa di rotondo non tendono a misurare gli angoli in radianti. La frase “angolo pi greco per quattro” confonde molti, mentre “angolo quarantacinque gradi” è comprensibile a tutti, poiché è solo cinque gradi più alto del normale. Tuttavia, in tutte le formule sarà presente un angolo in più, α, come valore intermedio. Nel significato, questa è la metà dell'angolo centrale, misurato in radianti, ma non puoi tranquillamente approfondire questo significato.

1. Dato il diametro D e la lunghezza dell'arco L

; lunghezza della corda ;
altezza del segmento ; angolo centrale .

2. Dati il ​​diametro D e la lunghezza della corda X

; lunghezza dell'arco ;
altezza del segmento ; angolo centrale .

Poiché la corda divide il cerchio in due segmenti, questo problema non ha una, ma due soluzioni. Per ottenere il secondo, è necessario sostituire l'angolo α nelle formule precedenti con l'angolo .

3. Dato il diametro D e l'angolo al centro φ

; lunghezza dell'arco ;
lunghezza della corda ; altezza del segmento .

4. Dati il ​​diametro D e l'altezza del segmento H

; lunghezza dell'arco ;
lunghezza della corda ; angolo centrale .

6. Data la lunghezza dell'arco L e l'angolo al centro φ

; diametro;
lunghezza della corda ; altezza del segmento .

8. Data la lunghezza della corda X e l'angolo al centro φ

; lunghezza dell'arco ;
diametro; altezza del segmento .

9. Data la lunghezza della corda X e l'altezza del segmento H

; lunghezza dell'arco ;
diametro; angolo centrale .

10. Dato l'angolo al centro φ e l'altezza del segmento H

; diametro ;
lunghezza dell'arco ; lunghezza della corda .

Il lettore attento non ha potuto fare a meno di notare che mi sono perse due opzioni:

5. Data la lunghezza dell'arco L e la lunghezza della corda X

7. Data la lunghezza dell'arco L e l'altezza del segmento H

Questi sono solo quei due spiacevoli casi in cui il problema non ha una soluzione che possa essere scritta sotto forma di formula. E il compito non è così raro. Ad esempio, hai un pezzo piatto di lunghezza L e vuoi piegarlo in modo che la sua lunghezza diventi X (o la sua altezza diventi H). Che diametro dovrei prendere per il mandrino (traversa)?

Questo problema si riduce alla risoluzione delle equazioni:
; - nell'opzione 5
; - nell'opzione 7
e sebbene non possano essere risolti analiticamente, possono essere facilmente risolti a livello di programmazione. E so anche dove trovare un programma del genere: proprio su questo sito, sotto il nome . Fa tutto quello che ti dico dettagliatamente qui in microsecondi.

Per completare il quadro, aggiungiamo ai risultati dei nostri calcoli la circonferenza e tre valori dell'area: cerchio, settore e segmento. (Le aree ci aiuteranno molto nel calcolare la massa di tutte le parti rotonde e semicircolari, ma ne parleremo più approfonditamente in un articolo separato.) Tutte queste quantità vengono calcolate utilizzando le stesse formule:

circonferenza;
area di un cerchio ;
zona del settore ;
zona del segmento ;

E in conclusione, lascia che ti ricordi ancora una volta dell'esistenza di un programma assolutamente gratuito che esegue tutti i calcoli di cui sopra, liberandoti dalla necessità di ricordare cos'è un arcotangente e dove cercarlo.

L'area di un segmento circolare è uguale alla differenza tra l'area del settore circolare corrispondente e l'area del triangolo formato dai raggi del settore corrispondente al segmento e dalla corda che delimita il segmento.

Esempio 1

La lunghezza della corda che sottende il cerchio è pari al valore a. La misura in gradi dell'arco corrispondente alla corda è 60°. Trova l'area del segmento circolare.

Soluzione

Un triangolo formato da due raggi e una corda è isoscele, quindi l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo al centro al lato del triangolo formato dalla corda sarà anche la bisettrice dell'angolo al centro, dividendolo a metà, e l'altezza mediana, dividendo la corda a metà. Sapendo che il seno dell'angolo è uguale al rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, possiamo calcolare il raggio:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, dove h è l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo al centro alla corda. Secondo il teorema di Pitagora h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Di conseguenza, S▲=√3/4*a².

L’area del segmento, calcolata come Sreg = Sc – S▲, è pari a:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Sostituendo un valore numerico al valore di a, puoi facilmente calcolare il valore numerico dell'area del segmento.

Esempio 2

Il raggio del cerchio è uguale ad a. La misura in gradi dell'arco corrispondente al segmento è 60°. Trova l'area del segmento circolare.

Soluzione:

L'area del settore corrispondente a un dato angolo può essere calcolata utilizzando la seguente formula:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

L'area del triangolo corrispondente al settore si calcola come segue:

S▲=1/2*ah, dove h è l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo al centro alla corda. Secondo il teorema di Pitagora h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Di conseguenza, S▲=√3/4*a².

Ed infine l'area del segmento, calcolata come Sreg = Sc - S▲, è pari a:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Le soluzioni in entrambi i casi sono quasi identiche. Pertanto, possiamo concludere che per calcolare l'area di un segmento nel caso più semplice, è sufficiente conoscere il valore dell'angolo corrispondente all'arco del segmento e uno dei due parametri: il raggio del cerchio o la lunghezza della corda che sottende l'arco di cerchio che forma il segmento.

Il valore matematico dell'area è noto fin dall'antica Grecia. Anche in quei tempi lontani, i Greci scoprirono che un'area è una parte continua di una superficie, limitata su tutti i lati da un contorno chiuso. Questo è un valore numerico misurato in unità quadrate. L'area è una caratteristica numerica sia delle figure geometriche piatte (planimetriche) che delle superfici dei corpi nello spazio (volumetriche).

Attualmente si trova non solo nel curriculum scolastico delle lezioni di geometria e matematica, ma anche nell'astronomia, nella vita quotidiana, nell'edilizia, nello sviluppo del design, nell'industria manifatturiera e in molte altre materie umane. Molto spesso ricorriamo al calcolo delle aree dei segmenti su un terreno personale quando progettiamo un'area paesaggistica o durante i lavori di ristrutturazione di un design ultramoderno delle stanze. Pertanto, la conoscenza dei metodi per il calcolo delle varie aree sarà utile sempre e ovunque.

Per calcolare l'area di un segmento circolare e di un segmento sferico, è necessario comprendere i termini geometrici che saranno necessari durante il processo di calcolo.

Prima di tutto, un segmento di cerchio è un frammento di una figura circolare piatta, che si trova tra l'arco di cerchio e la corda che lo taglia. Questo concetto non deve essere confuso con la figura del settore. Queste sono cose completamente diverse.

Una corda è un segmento che collega due punti giacenti su una circonferenza.

L'angolo centrale è formato tra due segmenti: i raggi. Si misura in gradi dall'arco su cui poggia.

Un segmento di sfera si forma quando una parte è tagliata da un piano. In questo caso, la base del segmento sferico è un cerchio e l'altezza è la perpendicolare che parte dal centro del cerchio fino all'intersezione con la superficie della sfera. Questo punto di intersezione è chiamato vertice del segmento sferico.

Per determinare l'area di un segmento sferico, è necessario conoscere il cerchio ritagliato e l'altezza del segmento sferico. Il prodotto di queste due componenti sarà l'area del segmento della sfera: S=2πRh, dove h è l'altezza del segmento, 2πR è la circonferenza e R è il raggio del cerchio massimo.

Per calcolare l'area di un segmento circolare, puoi ricorrere alle seguenti formule:

1. Per trovare l'area di un segmento nel modo più semplice è necessario calcolare la differenza tra l'area del settore in cui è inscritto il segmento e la cui base è la corda del segmento: S1 = S2 -S3, dove S1 è l'area del segmento, S2 è l'area del settore e S3 è l'area del triangolo.

Puoi utilizzare una formula approssimativa per calcolare l'area di un segmento circolare: S=2/3*(a*h), dove a è la base del triangolo oppure h è l'altezza del segmento, che è il risultato della differenza tra il raggio del cerchio e

2. L'area di un segmento diverso da un semicerchio si calcola come segue: S = (π R2:360)*α ± S3, dove π R2 è l'area del cerchio, α è la misura in gradi dell'angolo al centro, che contiene l'arco del segmento di cerchio, S3 è l'area del triangolo che si è formato tra i due raggi di il cerchio e la corda, che ha un angolo nel punto centrale del cerchio e due vertici nei punti di contatto dei raggi con il cerchio.

Se l'angolo α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 gradi, segno più applicato.

3. Puoi calcolare l'area di un segmento usando altri metodi usando la trigonometria. Di norma, come base viene preso un triangolo. Se l'angolo al centro è misurato in gradi, allora è accettabile la seguente formula: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, dove R2 è il quadrato del raggio del cerchio, α è il raggio misura in gradi dell'angolo al centro.

4. Per calcolare l'area di un segmento utilizzando le funzioni trigonometriche, è possibile utilizzare un'altra formula, a condizione che l'angolo al centro sia misurato in radianti: S= R2 * (α - sin α)/2, dove R2 è il quadrato di il raggio del cerchio, α è il grado che misura l'angolo al centro.

Inizialmente appare così:

Figura 463.1. a) arco esistente, b) determinazione della lunghezza e dell'altezza della corda del segmento.

Quindi, quando c'è un arco, possiamo collegare le sue estremità e ottenere una corda di lunghezza L. Nel mezzo della corda possiamo tracciare una linea perpendicolare alla corda e ottenere così l'altezza del segmento H. Ora, conoscendo il lunghezza della corda e altezza del segmento, possiamo prima determinare l'angolo al centro α, cioè l'angolo tra i raggi tracciati dall'inizio e dalla fine del segmento (non mostrato nella Figura 463.1), quindi il raggio del cerchio.

La soluzione a questo problema è stata discussa in dettaglio nell'articolo "Calcolo di un architrave ad arco", quindi qui fornirò solo le formule di base:

tg( UN/4) = 2N/L (278.1.2)

UN/4 = arcotan( 2H/L)

R = H/(1 - cos( UN/2)) (278.1.3)

Come puoi vedere, da un punto di vista matematico, non ci sono problemi nel determinare il raggio di un cerchio. Questo metodo consente di determinare il valore del raggio dell'arco con la massima precisione possibile. Questo è il vantaggio principale di questo metodo.

Ora parliamo degli svantaggi.

Il problema con questo metodo non è nemmeno che è necessario ricordare le formule di un corso di geometria scolastica, dimenticato con successo molti anni fa - per ricordare le formule - c'è Internet. Ed ecco una calcolatrice con funzioni arctg, arcsin, ecc. Non tutti gli utenti ce l'hanno. E sebbene questo problema possa essere risolto con successo anche tramite Internet, non dobbiamo dimenticare che stiamo risolvendo un problema abbastanza applicato. Quelli. Non è sempre necessario determinare il raggio di un cerchio con una precisione di 0,0001 mm; una precisione di 1 mm può essere abbastanza accettabile.

Inoltre, per trovare il centro del cerchio, è necessario estendere l'altezza del segmento e tracciare su questa linea retta una distanza pari al raggio. Dato che in pratica abbiamo a che fare con strumenti di misura non ideali, a questo va aggiunto il possibile errore di marcatura, ne risulta che quanto minore è l'altezza del segmento rispetto alla lunghezza della corda, tanto maggiore può verificarsi l'errore quando si determina il centro dell'arco.

Ancora una volta, non dobbiamo dimenticare che non stiamo considerando un caso ideale, cioè Questo è ciò che abbiamo subito chiamato curva un arco. In realtà, questa potrebbe essere una curva descritta da una relazione matematica piuttosto complessa. Pertanto il raggio ed il centro del cerchio così individuato potrebbero non coincidere con il centro reale.

A questo proposito, voglio offrire un altro metodo per determinare il raggio di un cerchio, che io stesso uso spesso, perché questo metodo per determinare il raggio di un cerchio è molto più veloce e più semplice, sebbene la precisione sia molto inferiore.

Secondo metodo per determinare il raggio dell'arco (metodo delle approssimazioni successive)

Continuiamo quindi a considerare la situazione attuale.

Poiché dobbiamo ancora trovare il centro del cerchio, per cominciare disegneremo almeno due archi di raggio arbitrario dai punti corrispondenti all'inizio e alla fine dell'arco. Attraverso l'intersezione di questi archi ci sarà una linea retta su cui si trova il centro del cerchio desiderato.

Ora devi collegare l'intersezione degli archi con il centro dell'accordo. Tuttavia, se dai punti indicati non disegniamo un arco, ma due, allora questa linea retta passerà attraverso l'intersezione di questi archi e quindi non sarà affatto necessario cercare il centro della corda.

Se la distanza dall'intersezione degli archi all'inizio o alla fine dell'arco in questione è maggiore della distanza dall'intersezione degli archi al punto corrispondente all'altezza del segmento, allora il centro dell'arco in questione è situato più in basso sulla linea retta tracciata attraverso l'intersezione degli archi e il punto medio della corda. Se è inferiore, il centro desiderato dell'arco è più alto sulla linea retta.

In base a ciò si prende il punto successivo della retta, presumibilmente corrispondente al centro dell'arco, e da esso si effettuano le stesse misurazioni. Quindi viene accettato il punto successivo e le misurazioni vengono ripetute. Con ogni nuovo punto, la differenza nelle misurazioni diminuirà sempre di più.

È tutto. Nonostante una descrizione così lunga e complicata, sono sufficienti 1-2 minuti per determinare in questo modo il raggio dell'arco con una precisione di 1 mm.

In teoria assomiglia a questo:

Figura 463.2. Determinazione del centro dell'arco mediante il metodo delle approssimazioni successive.

Ma in pratica funziona più o meno così:

Foto 463.1. Marcatura di pezzi di forme complesse con raggi diversi.

Qui aggiungo solo che a volte devi trovare e disegnare diversi raggi, perché c'è così tanto confuso nella fotografia.

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