I coseni direzionali del vettore e i coseni degli angoli. Formula per il calcolo dei coseni delle direzioni vettoriali per problemi spaziali

Ιδιότητα:

cos2α + cos2β + cos2γ = 1

β) definitione di operazioni lineari

la somma di due vettori non collineari è il vettore proveniente dall'origine comune dei vettori lungo la diagonale di un parallelogramma costruito su questi vettori

La differenza vettoriale è la somma di un vettore e di un vettore opposto al vettore: . Colleghiamo gli inizi dei vettori e, quindi il vettore è diretto dalla fine del vettore alla fine del vettore.

Il lavoro un vettore στη βάση a un numero è chiamato vettore con modulo, e at e at. Dal punto di vista geometrico, la moltiplicazione per un numero significa “allungare” il vettore di un fattore, mantenendo la direzione in e cambiando nella direzione opposta in .

Dalle regole di cui sopra per aggiungere vettori e moltiplicarli per un numero, seguono ovvie affermazioni:

1. (l'addizione è commutativa);

2. (l'addizione è associativa);

3. (esistenza di un vettore nullo);

4. (esistenza di un vettore opposto);

5. (l'addizione è associativa);

6. (la moltiplicazione per un numero è distributiva);

7. (l'addizione vettoriale è distributiva);

γ) prodotto scalare e sue proprietà fondamentali

Prodotto scalare due vettori diversi da zero si chiama numero Guale al prodotto le lunghezze di questi vettori per il coseno dell'angolo compreso tra loro. Se almeno uno dei due vettori è zero, allora l'angolo compreso tra loro non è definito e il prodotto scalare è considerato uguale a zero. Il prodotto scalare di vettori e è indicato con

, dove e sono le lunghezze dei vettori e , rispettivamente, e è l'angolo tra i vettori e .

Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è detto quadrato scalare.

Proprietà del prodotto scalare.

Σύμφωνα με το qualsiasi vettore vale quanto segue: proprietà del prodotto scalare:

la proprietà commutativa di un prodotto scalare;

proprietà distributiva Ο ;

σύλλογος proprietà Ο , περιστέρι è un numero reale arbitrario;

Il quadrato scalare di un vettore è semper non negative se e solo se il vettore è zero.

ΣΟΛ) prodotto vettoriale e le sue proprietà

prodotto vettoriale dal vettore a al vettore b è chiamato vettore c, la cui lunghezza è numericamente uguale all'area del parallelogramma costruito sui vettori a e b, perpendicolare al piano di questi vettori e diretto in modo tale che la più piccola a brotazione a rotazione a in senso antiorario se visto dal vettore finale γ

Formule per il calcolo del prodotto vettoriale di vettori

Grafica vettoriale due vettori a = (a x; a y; a z) e b = (b x; b y; b z) nel sistema di συντεταγμένη καρτεσιανή è un vettore il cui valore può essere calcolato utilizzando le seguenti τύπος:

• Il prodotto vettoriale di due vettori diversi da zero a e b è uguale a zero se e solo se i vettori sono collineari.
• Il vettore c, uguale al prodotto vettoriale dei vettori diversi da zero a e b, è perpendicolare a questi vettori.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (α + β) × γ = α × γ + β × γ

Equazione di una retta su un piano

Α) Εξίσωση di una retta con coefficiente angolare

Pendenza di una rettaè chiamata tangente dell'angolo di inclinazione di questa linea.

La pendenza di una linea retta è solitamente indicata con la lettera κ. Quindi ανά ορισμό.

Se la retta è parallela all'asse delle ordinate, allora pendenza non esiste (in questo caso dicono anche che la pendenza va all'infinito).

Una pendenza positiva di una linea indica un aumento nel grafico della funzione, una pendenza negativa indica una diminuzione. L'equazione di una linea retta con coefficiente angolare ha la forma y=kx+b, dove k è il coefficiente angolare della linea, b è un numero reale. Utilizzando l'equazione di una retta con coefficiente angolare, è possibile specificare qualsiasi retta che non sia parallela all'asse Oy (per una retta parallela all'asse delle τεταγμένη, il coefficiente angolare non è definito).

Β) tipi di equazioni di una retta

L'equazione chiamato equazione generale della rettaστην επιφανεια.

Qualsiasi equazione di primo grado con due variabili Χμι σι Tipo Περιστέρι Ηνωμένα Έθνη, ΣΕμι ΑΠΑΤΩ-Alcuni numeri reali, Ε Ηνωμένα Έθνημι ΣΕ non sono uguali a zero allo stesso tempo, definisce una linea retta in un sistema di koordinate rettangolari Όσι sul piano, e ogni linea sul piano è data da un'equazione della forma .

Equazione della linea della forma, περιστέρι Ηνωμένα Έθνημι σι– vengono chiamati alcuni numeri reali diversi da zero Εξίσωση di una retta in segmenti. Questo nome non è casuale, poiché i valori assoluti dei numeri Ηνωμένα Έθνημι σι pari alla lunghezza dei segmenti che la retta taglia sugli assi συντονιστή Bueμι Εχι rispettivamente (i segmenti vengono contati dall'origine).

Equazione della linea della forma, περιστέρι Χμι σι- variabili e κμι σι– vengono chiamati alcuni numeri reali Equation di una retta inclinata (κ- pendenza)

Equazione canonica di una retta su un pianoστο un sistema di συντεταγμένα καρτεσιανό rettangolari Όσισέμβρα , dove e sono alcuni numeri reali e allo stesso tempo non sono uguali a zero.

Ovviamente per il punto passa la retta definita dall'equazione canonica della retta. A loro volta, i numeri e nei denominatori delle frazioni rappresentano le koordinate del vettore di direzione di questa linea. Quindi, l'equazione canonica della retta στο un sistema di συντεταγμένα rettangolari Όσι sul piano corrisponde ad una retta passante per un punto e avente un vettore direzione.

Equazioni parametriche di una retta su un piano assomigliare , dove e sono alcuni numeri reali, e allo stesso tempo non sono uguali a zero, ed è un parametro che assume qualsiasi valore reale.

Le equazioni parametriche di linea stabiliscono una relazione implicita tra le ascisse e le τεταγμένη dei punti su una linea retta utilizzando un parametro (da cui il nome di questo tipo di equazione di linea).

Una coppia di numeri calcolati dalle equazioni parametriche di una linea per un valore reale del parametro rappresenta le συντεταγμένες di un certo punto sulla linea. Ad esempio, quando abbiamo , cioè il punto con συντεταγμένη giace su una linea retta.

Va notato che i coefficienti e per il parametro in equazioni parametriche linea sono le koordinate del vettore direzione di questa linea

Equazione di una retta passante per due punti

Siano dati nello spazio due punti M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione della retta passante per questi punti è:

Se uno qualsiasi dei denominatori Γουάλε ένα μηδέν, il numeratore corrispondente va posto uguale a zero Sul piano l'equazione della retta scritta sopra è semplificata:

se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, se x 1 = x 2.

Si chiama la frazione = κ pendenza Dritto.

Γ) calcolo dell'angolo formato da due rette

se sono ημερομηνία λήξης γραμμή y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, allora angolo acuto tra queste linee rette sarà definito come

.

Due rette sono parallele se k 1 = k 2. Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Le rette Ax + Bу + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sono parallele quando i coefficienti A 1 = λA, B 1 = λB sono proporzionali. Se anche C 1 = λC, allora le rette coincidono. Le koordinate del punto di intersezione di due linee si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste linee.

Δ) condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette

Condizioni per il parallelismo di due rette:

α) Se le rette sono date da equazioni con coefficiente angolare, allora la condizione necessaria e επαρκής ανά il loro parallelismo è l'uguaglianza dei loro coefficienti angolari:

κ 1 = κ 2 .

β) Per il caso in cui le linee sono date dalle equazioni in vista generale(6), una condizione necessaria e επαρκής per il loro parallelismo è che i coefficienti per le corrispondenti συντεταγμένη correnti nelle loro equazioni siano proporzionali, cioè

Condizioni per la perpendicolarità di due rette:

α) Nel caso in cui le linee siano date dalle equazioni (4) con un coefficiente angolare, condizione necessaria e επαρκής για la loro perpendicolarità è che i loro συντελεστής angolari siano inversi in grandezza e opposti in segno, cioè

Questa condizione può anche essere scritta nella forma

κ 1 κ 2 = -1.

β) Se le equazioni delle rette sono date nella forma generale (6), allora la condizione per la loro perpendicolarità (necessaria e επαρκής) è soddisfare l'uguaglianza

Ηνωμένα Έθνη 1 Ηνωμένα Έθνη 2 + σι 1 σι 2 = 0.

Limit di funzione

Α) limite di sequenza

Il concetto di limite fu utilizzato da Newton nella seconda metà del XVII secolo e da matematici del XVIII secolo come Eulero e Lagrange, ma essi capirono il limite in modo intuitivo. Le prime definizioni rigorose del limite di successione furono date da Bolzano nel 1816 and da Cauchy nel 1821.

Il numero viene chiamato limite della sequenza numerica, se la successione è infinitesima, cioè tutti i suoi elementi, a partire da uno, sono inferiori in valore assoluto a qualsiasi numero positivo predeterminato.

Se una sequenza numerica ha un limite sotto forma di numero reale, viene chiamata συγκλίνουν ένα questo numero. Altrimenti, viene chiamata la sequenza αποκλίνουν . Se inoltre è illimitato, allora si assume che il suo limite sia uguale all'infinito.

Inoltre, se tutti gli elementi di una successione illimitata, a partire da un certo numero, hanno segno positivo, allora il limite di tale successione si dice che è più άπειρο .

Se gli elementi di una successione illimitata, a partire da un certo numero, hanno segno negativo, allora dicono che il limite di tale successione è uguale a meno infinito .

Β) limite della funzione

Limit di funzione (valore limite della funzione) στο un dato punto, limitando il dominio di definizione di una funzione, è il valore al quale tende il valore della funzione εξετάζει μαν μανό che il suo argomento tende ad un dato punto.

Limit di funzioneè una generalizzazione del concetto di limite di una sequenza: inizialmente per limite di una funzione in un punto si intendeva il limite di una sequenza di elementi del dominio dei valori di una funzione composta da immagini di punti di una sequenza di elementi di una funzione convergente ad un dato punto (il limite al quale viene considerato); se tale limite esiste, allora si dice che la funzione converge al valore specificato? se tale limite non esiste, allora la funzione si dice divergente.

Limit di funzione- uno dei concetti βάση dell'analisi matematica. Il valore viene chiamato όριο (όριο αξίας) di una funzione in un punto se per qualsiasi sequenza di punti convergenti ma non contenenti uno dei suoi elementi (cioè in un intorno perforato), la sequenza di valori della funzione converge a .

Il valore viene chiamato όριο (όριο αξίας) funziona nel punto se per ogni numero positivo preso in anticipo esiste un numero positivo corrispondente tale che per tutti gli argomenti che soddisfano la condizione la disuguaglianza è soddisfatta.

Γ) due limiti notevoli

· Il primo limite notvole:

Conseguenze

·

·

·

· Il secondo limite notvole:

Conseguenze

1.

2.

3.

4.

5. Ανά,

6.

Δ) Funzioni infinitesime e infinitamente grandi

Funzione y=f(x) chiamato απειροελάχιστοςΕΝΑ x→a o quando Χ→∞, se o , cioè una funzione infinitesima è una funzione il cui limite in un data punto è zero.

se funzione y=f(x) rappresentabile συν x→aέλα somma di un numero costante σι e grandezza infinitesimale α(x): f(x)=b+ α(x) Quello.

Αντίστροφα, se, allora f(x)=b+α(x)Περιστέρι ασκία)– infinitesimo α x→a.

Corollario 1. Se e, allora.

Corollario 2. Se c= const, quindi.

Se la funzione f(x)è infinitamente grande α x→a, quindi funzione 1 /f(x)è απειροελάχιστη α x→a.

Se la funzione f(x)- infinitesimo α x→a(Ο x→∞) e non svanisce, quindi y= 1/f(x)è una funzione infinitamente grande. Le proprietà più semplici delle funzioni infinitamente piccole και infinitamente grandi possono essere scritte utilizzando le seguenti relazioni condizionali: Ηνωμένα Έθνη≠ 0

Δ) communicazione delle incertezze. La regola dell'Hopital

principali tipologie di incertezze: μηδέν διαίρεση μηδέν ( da 0 a 0), infinito diviso per infinito, zero moltiplicato per infinito, infinito meno infinito, uno alla potenza dell'infinito, zero alla potenza di zero, infinito alla potenza di zero.

La regola dell'Hopital molto utilizzato per calcoli limite Quando c'è un'incertezza della forma zero diviso zero, infinito diviso infinito.

Questi tipi di incertezze includono le incertezze zero volte infinito e infinito meno infinito.

Se e se funziona f(x)μι g(x) sono differenziabili in un intorno del punto, allora

Nel caso in cui l'incertezza non scompaia dopo l'applicazione della regola di L'Hopital, è possibile applicarla nuovamente.

Calcolo dei derivati

Α) regola differenziazione funzione complessa

Ναύλος Lascia funzione complessa , περιστέρι funzione è un argomento intermedio. Mostreremo come trovare la derivata di una funzione complessa, conoscendo la derivata della funzione (la denoteremo con) και la derivata della funzione.

Θεώρημα 1. Se una funzione ha una derivata in un punto Χ, e la funzione ha una derivata nel punto (), quindi la funzione complessa nel punto Χ ha una derivata e = .

Altrimenti la derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione data rispetto all'argomento intermedio και alla derivata dell'argomento intermedio.

Β) differenziazione di una funzione specificata parametricamente

Sia data la funzione in forma parametrica, cioè nella forma:

περιστέρι le funzioni e sono οριστική και συνέχεια ανά un certo intervallo di variazione del parametro . Troviamo i differenziali dei lati destro e sinistro di ciascuna delle uguaglianze:

Σύμφωνα με τα παράγωγα δευτεροβάθμιας απόδοσης:

Β) il concetto di derivata logaritmica di una funzione

La derivata logaritmica di una funzione positiva si chiama derivata. Poiché, allora secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa otteniamo la seguente relazione per la derivata logaritmica:

.

Utilizzando la derivata logaritmica è comforte calcolare la derivata ordinaria nei casi in cui il logaritmo semplifica la forma della funzione.

L'essenza di questa differenziazione è la seguente: innanzitutto, trova il logaritmo δεδομένα funzione, e solo allora viene calcolata la derivata da esso. Si dia una certa funzione. Prendiamo i logaritmi dei lati sinistro e destro di questa espressione:

E quindi, esprimendo la derivata desiderata, il risultato è:

Δ) derivata della funzione inversa

Se y=f(x) e x=g(y) sono una coppia di funzioni reciprocamente inverse, e la funzione y=f(x) ha una derivata f"(x), allora la derivata della funzione inversa g"( x) =1/f" (x).

Για παράδειγμα, le παράγωγο di funzioni reciprocamente inverse sono quantità reciproche. Formula per la derivata della funzione inversa:

Δ) παράγωγο funzione implicita

Se una funzione di una variabile è descritta dall'equazione σι=φά(Χ), dove la variabile σιè sul lato sinistro e il lato destro dipende solo dall'argomento Χ, allora dicono che la funzione è data esplicitamente. Ad esempio, le seguenti funzioni sono specificate splicitamente:

σι= πεκάτο Χ,σι=Χ 2+2Χ+5,σι=lncos Χ.

In molti problemi, tuttavia, la funzione può essere specificata υπονοούμενο, cioè. έλα un'equazione

φά(Χ,σι)=0.

per trovare la derivata σι′( Χ) una funzione specificata implicitamente non necessita di essere convertita in una forma esplicita. Ανά ναύλα questo, conoscendo l'equazione φά(Χ,σι)=0, basta fare quanto segue:

Per prima cosa devi differenziare entrambi i lati dell'equazione rispetto alla variabile Χ, supponendo che σι− è una funzione differenziabile Χ e utilizzare la regola per calcolare la derivata di una funzione complessa. In questo caso anche la derivata di zero (a destra) sarà uguale a zero.
Σχόλιο: Se il lato destro è diverso da zero, ad es. l'equazione implicita è

φά(Χ,σι)=σολ(Χ,σι),

quindi differenziamo i lati sinistro e destro dell'equazione.

Risolvi l'equazione risultante per la derivata σι′( Χ).

Concetto di derivata

Α) definitione di derivato

Παράγωγα της λειτουργίας διαφοροποίηση ενσωμάτωση.

σι ΧΧ

Ορισμός παραγώγων

Σκεφτείτε το funzione φά(Χ Χ 0. Quindi la funzione φά(Χ) È διαφοροποιήσιμος al punto Χ 0, e lei παράγωγοè determinato dalla τύπος

φά′( Χ 0)=limΔ Χ→0Δ σιΔ Χ=limΔ Χ→0φά(Χ 0+Δ Χ)−φά(Χ 0)Δ Χ.

Παράγωγα της λειτουργίαςè uno dei concetti βάση della matematica, e in analisi matematica la derivata, insieme all'integrale, occupa un posto centrale. Il processo per trovare la derivata si chiama διαφοροποίηση. Viene chiamata l'operazione inversa, ovvero ripristinare una funzione da una derivata nota ενσωμάτωση.

La derivata di una funzione ad un certo punto caratterizza la velocità di variazione della funzione in quel punto. Una stima del tasso di variazione può essere ottenuta calcolando il rapporto tra la variazione della funzione Δ σι ad un corrispondente cambiamento nell'argomento Δ Χ. Nella definizione della derivata tale relazione viene considerata al limite sotto la condizione Δ Χ→0. Passiamo ad una formulazione più rigorosa:

Ορισμός παραγώγων

Σκεφτείτε το funzione φά(Χ), il cui dominio contiene un intervallo aperto attorno al punto Χ 0. Quindi la funzione φά(Χ) È διαφοροποιήσιμος al punto Χ 0, e lei παράγωγοè determinato dalla τύπος

φά′( Χ 0)=limΔ Χ→0Δ σιΔ Χ=limΔ Χ→0φά(Χ 0+Δ Χ)−φά(Χ 0)Δ Χ.

Β) significato geometrico della derivata

La derivata della funzione, calcolata per un dato valore, è uguale alla tangente dell'angolo formato dalla direzione positiva dell'asse e dalla direzione positiva della tangente disegnata al grafico di questa funzione nel punto con l'ascissa:

Se una funzione ha una derivata finita in un punto, allora nelle vicinanze può essere approssimata da una funzione lineare

La funzione si chiama tangente a nel punto Numero.

Δ) παράγωγο tavola delle delle funzioni elementari più semplici

Lascia che il vettore ( Χ , ΕΝΑ , z ).

Indichiamo gli angoli di inclinazione di questo vettore rispetto agli assi Ωχ Ώχ μι Οζ lettere di conseguenza ,ΜΙ. Tre numeri συν, συνμι συν solitamente chiamato coseni direzionali del vettore. Credere = (1; 0; 0 ) otteniamo da (9)

Γεια σου stesso modo

Dalle τύπος (11) - (13) segue:

1) συν 2 +κος 2 +κος 2 = 1 ,

Quelli. la somma dei quadrati dei coseni direzionali di qualsiasi vettore diverso da zero è uguale a uno;

Quelli.i coseni direzionali di questo vettore sono proporzionali alle sue proiezioni corrispondenti.

Δεν είναι.

Dalle formule (11)-(13) è chiaro che le proiezioni di qualsiasi vettore unitario sugli assi koordini coincidono rispettivamente con i suoi coseni di direzione e, quindi, (1; 2; 2). Εσεμπίο. Trovare i coseni direzionali di un vettore

Secondo le formule (11)-(13) abbiamo

4. Prodotto vettoriale di due vettori e sue principali proprietà. Ορισμός.Il prodotto vettoriale di due vettoriμι è chiamato un nuovo vettore il cui modulo uguale all'area

un parallelogramma costruito su vettori e ridotto ad un'origine comune, e che è perpendicolare ai vettori moltiplicati (in altre parole, perpendicolare al piano del parallelogramma costruito su di essi) και diretto in una direzione tale che la ritanaziteone vettore sembra avvenire in senso antiorario se visto dal vettore finale (Εικ. 40).

Se i vettori sono collineari, il loro prodotto vettoriale è considerato uguale al vettore zero. Da questa definitione ne consegue che

|| = || || πεκάτο, 0 dov'è l'angolo tra i vetori(

). Il prodotto vettoriale dei vettori ed è indicato dal simbolo

xoo[,]. Scopriamo il significato fisico del prodotto vettoriale. Se un vettore rappresenta applicato ad un certo punto S.M. limo e il vettore proviene da un certo punto D.I. esattamenteΜ, = poi il vettore rappresenta il momento della forza attorno ad un punto

D.I.

1 . Proprietà di un prodotto incrociato

Quando si riorganizzano i fattori, il prodotto vettoriale cambia segno, cioè

x = -(x).()x=x()=(x),

3. περιστέρι και uno scalare.

Il prodotto vettoriale obbedisce alla legge di distribuzione, cioè

4. Se il prodotto vettoriale di due vettori è uguale al vettore zero, allora almeno uno dei vettori moltiplicati è uguale al vettore zero (caso banale), oppure il seno dell'angolo tra loro è uguale a zero, cioè i vettori sono collineari. Indietro,

se due vettori diversi da zero sono collineari, il loro prodotto vettoriale è uguale al vettore zero. , Affinché due vettori diversi da zero siano collineari è necessario e επαρκής che il loro prodotto vettoriale sia uguale al vettore zero.

Da qui, in particolare, segue che il prodotto vettoriale di un vettore con se stesso è uguale al vettore nullo:

x =0

(Χ chiamato anche vettore quadrato vettoriale .

5. Prodotto misto di tre vettori e sue principali proprietà.

Siano dati tre vettori e. Immaginiamo che un vettore venga moltiplicato vettorialmente per un vettore e il vettore risultante venga moltiplicato scalarmente per un vettore, determinando così il numero (x). Si chiama ο lavoro misto tre vettori ε.

Per brevità, indicheremo il prodotto misto (x) o ().

Scopriamo il significato geometrico del prodotto misto. Siano i vettori considerati non complanari. Costruiamo un parallelepipedo su vettori e su spigoli.

Il prodotto vettoriale x è un vettore (=) numericamente uguale all'area del parallelogramma ΟΑΔΒ (la base del parallelepipedo costruito), costruito su una vectorachia diretta perpendicolarmente al piano del parallelogramma (Εικ. 41).

Il prodotto scalare (x) = è il prodotto del modulo del vettore e della proiezione del vettore (vedi paragrafo 1, (2)).

L'altezza del parallelepipedo costruito è il valore assoluto di questa proiezione.

Pertanto il prodotto | |in valore assoluto è pari al prodotto dell'area della βάση del parallelepipedo e della sua altezza, cioè il volume di un parallelepipedo costruito su vettori, e.

È importante notare che il prodotto scalare dà il volume del parallelepipedo, a volte con segno positivo, a volte con segno negative. Si ottiene un segno positivo se l'angolo tra i vettori è acuto; αρνητικό - se stupido. Con un angolo acuto tra e il vettore si trova sullo stesso lato del piano ΟΑΔΒ , come vettore e, quindi, dalla fine del vettore, la rotazione da sarà visibile allo stesso modo della fine del vettore, cioè in senso positivo (antiorario).

Ad un angolo ottuso tra il vettore si trova sull'altro lato dell'aereo ΟΑΔΒ Rispetto al vettore, e quindi, dalla fine del vettore, la rotazione si vedra in senso negativo (οράριο). In altre parole, il prodotto è positivo se i vettori e formano un sistema con lo stesso nome con il principale Oxyz (situati reciprocamente allo stesso modo degli assi Ox, Oy, Oz), ed è negativo se i vettori formano un sistema con lo stesso nome di quello principale.

Così, il prodotto misto è un numero,il cui valore assoluto esprime il volume del parallelepipedo,costruito su vettori,έλα σουλ Κοστόλ.

Il segno del prodotto è positivo se i vettori formano un sistema con lo stesso nome di quello principale, negativo altrimenti.

Ne consegue che il valore assoluto del prodotto =(x) rimarrà lo stesso, indipendentemente dall'ordine in cui prendiamo i fattori. Quanto al segno, in alcuni casi sarà positivo, in altri negative; dipende se i nostri tre vettori, presi in un certo ordine, formano o meno un sistema con lo stesso nome di quello principale. Tieni presente che i nostri assi di koordinate sono disposti in modo tale da susseguirsi in senso antiorario guardando l'interno (Εικ. 42). La sequenza non viene violata se iniziamo la traslazione dal secondo o dal terzo asse, purché venga eseguita nella stessa direzione, cioè Antiorario. In questo caso, i fattori vengono riorganizzati in modo circolare (ciclicamente). Otteniamo così la seguente proprietà:

Un prodotto misto non cambia con la riorganizzazione circolare (ciclica) dei suoi fattori. Riordinando due fattori adiacenti si cambia il segno del prodotto

= ==-()=-()=-().

Άπειρο, ναι significato geometrico un prodotto misto è immediatamente seguito dalla seguente affermazione.

Condizione necessaria e επαρκής per la complanarità dei vettori,,è l'uguaglianza del loro prodotto misto a zero:

questi sono i coseni degli angoli che forma il vettore con i seemiassi positivi delle συντεταγμένη. I coseni di direzione specificano in modo univoco la direzione del vettore. Se un vettore ha lunghezza 1, i suoi coseni direzionali sono uguali alle sue συντεταγμένη. Γενικά, ανά un vettore con συντεταγμένη ( Ηνωμένα Έθνη; σι; ντο) και αιτία:

περιστέρι α, β, γ σονο γλι ανγκολι φορτη νταλ βεττορε κον γλι ασι Χ, σι, z ristivamente.

21) Scomposizione di un vettore in vettori unitari. Il vettore unitario dell'asse delle συντεταγμένη è indicato con, gli assi con e gli assi con (Εικ. 1).

Σύμφωνα με το ogni vetore che giace nel piano si verifica la seguente espansione:

Se il vetore situato nello spazio, allora lo sviluppo in versori degli assi συντονιστές ha la forma:

22)Prodotto scalare due vettori diversi da zero e il numero pari al prodotto delle lunghezze di questi vetori e del coseno dell'angolo compreso tra loro si chiama:

23) Angolo tra due vettori

Se l'angolo tra due vettori è acuto, allora il loro prodotto scalare è positivo; se l'angolo tra i vettori è ottuso, il prodotto scalare di questi vettori è negativo. Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è uguale a zero se e solo se questi vettori sono ortogonali.

24) Condizione di parallelismo e perpendicolarità di due vettori.

Condizione affinché i vettori siano perpendicolari
I vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è zero Dati due vettori a(xa;ya) eb(xb;yb). Questi vettori saranno perpendicolari se l'espressione xaxb + yayb = 0.

25) Prodotto vettoriale di due vettori.

Il prodotto vettoriale di due vettori non collineari è un vettore c=a×b che soddisfa le seguenti condizioni: 1) |c|=|a| |β| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) I vettori a, b, c formano una tripletta di vettori a destra.

26) Vettori collineari e complanari..

I vettori sono collineari se l'ascissa del primo vettore sta all'ascissa del secondo come l'ordinata del primo sta all'ordinata del secondo Ηνωμένα Έθνη (xa;σι) Ε σι (xb;σι). Questi vettori sono collineari se xa = x βμι sì, sì = sì βΠεριστέρι R.

Vettori −→ Ηνωμένα Έθνη,−→σι e−→ ντο sono chiamati Complanare, se esiste un piano al quale sono paralleli.

27) Prodotto misto di tre vettori. Prodotto misto di vettori- prodotto scalare del vettore a e prodotto vettoriale dei vettori b e c. Trova il prodotto misto dei vettori a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Soluzione:

1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) La distanza tra due punti su un piano. La distanza tra due punti dati è uguale alla radice quadrata della somma delle differenze τετράγωνο delle stesse συντεταγμένη di questi punti.

29) Divisione di un segmento in questa relazione. Se il punto M(x; y) giace su una linea che passa per due punti dati ( , ) e ( , ), e viene data una relazione in cui il punto M divide il segmento , allora le συντεταγμένες del punto M sono determinate dalle τύπος

Se il punto M è il punto medio del segmento, le sue συντεταγμένη sono determinate dalle τύπος

30-31. Pendenza di una rettaè chiamata tangente dell'angolo di inclinazione di questa linea. La pendenza di una linea retta è solitamente indicata con la lettera κ. Quindi ανά ορισμό

Equation di una retta inclinataχα λα φορμά περιστέρι κ- pendenza in linea retta, σι– qualche numero reale. Utilizzando l'equazione di una linea retta con un coefficiente angolare, è possibile specificare qualsiasi linea retta che non sia parallela all'asse Εχι(per una retta parallela all'asse delle ordinate il coefficiente angolare non è definito).

33. Equazione generale della retta su un piano. Εξίσωση della forma C'è equazione generale di una retta Όσι. A seconda dei valori κόσταντη Α, Β e C sono possibili i seguenti casi particolari:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – la retta passa ανά προέλευση

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - retta parallela all'asse del Bue

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – retta parallela all'asse Oy

B = C = 0, A ≠0 – la retta coincidence con l'asse Oy

A = C = 0, B ≠0 – la retta coincidence con l'asse del Bue

34.Εξίσωση di una retta in segmenti su un piano in un sistema di συντεταγμένα rettangolari Όσιχα λα φορμά περιστέρι Ηνωμένα Έθνημι σι- alcuni numeri reali diversi da zero. Questo nome non è casuale, poiché i valori assoluti dei numeri Ηνωμένα Έθνημι σι pari alla lunghezza dei segmenti che la retta taglia sugli assi συντονιστή Bueμι Εχι rispettivamente (i segmenti vengono contati dall'origine). Για παράδειγμα, l'equazione di una linea in segmenti facilita la costruzione di questa linea in un dissegno. Για ναύλο ciò, dovresti contrassegnare i punti con le συντεταγμένα και στο un sistema di συντεταγμένα rettangolari sul piano e utilizzare un righello per collegarli con una linea retta.

35. L'equazione normale di una linea ha la forma

dov'è la distanza dalla retta all'origine;  – l'angolo tra la normale alla linea e l'asse.

L'equazione normale può essere ottenuta dall'equazione generale (1) moltiplicandola per il fattore di normalizzazione, il segno  è opposto al segno per cui .

I coseni degli angoli tra la retta e gli assi delle συντεταγμένη sono chiamati coseni direzionali,  – l'angolo tra la retta e l'asse,  – tra la retta e l'asse:

Όπως, l'equazione normale può essere scritta nella forma

Distanza dal punto ad una linea rettaτύπος determinato Dala

36. La distanza tra un punto e una linea viene calcolata utilizzando la seguente τύπος:

περιστέρι x 0 e y 0 sono le συντεταγμένες del punto e A, B e C sono i coefficienti dell'equazione generale della retta

37. Riduzione dell'equazione generale di una linea alla normale. Un'equazione e un piano in questo contesto non differiscono l'uno dall'altro in nient'altro che nel numero di termini nelle equazioni και nella dimensione dello spazio. Περνώντας, πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να είναι πολύ καλός ο χρόνος.
Sia data l'equazione generale del piano: Ax + By + Cz + D = 0.
;. otteniamo il sistema: g;Mc=cosb, MB=cosa Portiamolo alla forma normale. Ανά ναύλο ciò, moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per il fattore di normalizzazione M. Otteniamo: Max+Mvu+MCz+MD=0. Στο ερώτημα αυτό MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa otteniamo il sistema:

M2B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Sommando tutte le equazioni del sistema si ottiene M*(A2 + B2 + C2) = 1 Ora non resta che esprimere M da qui per sapere per quale fattore di normalizzazione bisogna moltiplicare l'equazione generale originaria per portarla alla forma normale:
M=-+1/ROTALE KV A2 +B2 +C2
MD dovrebbe essere semper presente meno di zero, quindi, il segno del numero M viene preso opposto al segno del numero D.
Con l'equazione di una linea retta, tutto è uguale, solo che dalla formula per M dovresti semplicemente rimuovere il termine C2.

38.Equation generale del piano nello spazio è detta equazione della forma

Περιστέρι Ηνωμένα Έθνη 2 + σι 2 + ντο 2 ≠ 0 .

Nello spazio tridimensionale nel sistema di συντεταγμένα καρτεσιανό, qualsiasi piano è descritto da un'equazione di 1° grado (equazione lineare). E viceversa, qualsiasi equazione lineare definisce un piano.

40.Equation di un piano in segmenti.Στο un sistema di συντεταγμένα rettangolari Oxyz nello spazio tridimensionale un'equazione della forma Περιστέρι Ηνωμένα Έθνη, σιμι ντο– vengono chiamati i numeri reali diversi da zero Equation del piano in segmenti. Valori assoluti dei numeri Ηνωμένα Έθνη, σιμι ντο pari alla lunghezza dei segmenti che il piano taglia sugli assi συντονιστή Bue, Εχιμι Οζ Rispettivamente, contando dall'origin. Segno di numeri Ηνωμένα Έθνη, σιμι ντο mostra in quale direzione (θετική ή αρνητική) sono tracciati i segmenti sugli assi delle συντεταγμένη

41) Equation del piano normale.

L'equazione normale di un piano è la sua equazione scritta nella forma

περιστέρι, , sono i coseni direzionali della normale al piano, e

p è la distanza dall'origin al piano. Quando si calcola la direzione del coseno della normale, si deve presumere che sia diretta dall'origine al piano (se il piano passa per l'origine, la scelta della direzione positiva della normale è indifferente).

42) Distanza da un punto ad un piano.Sia il piano dato dall'equazione e viene assegnato un punto. Quindi la distanza dal punto al piano è determinata dalla formula

Prova. La distanza da un punto a un piano è, per definitione, la lunghezza della perpendicolare tracciata dal punto al piano

Angolo tra i piani

Lasciamo che i piani e siano specificati dalle equazioni e, rispettivamente. Devi trovare l'angolo tra questi piani.

I piani, intersecandosi, formano quattro angoli diedri: due ottusi e due acuti o quattro retti, ed entrambi gli angoli ottusi sono uguali tra loro, ed entrambi gli angoli acuti sono anche uguali tra loro. Cercheremo semper un angolo acuto. Per determinarne il valore, prendiamo un punto sulla linea di intersezione dei piani e in questo punto in ciascuno di

piani, disegniamo le perpendicolari alla linea di intersezione.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Vettoreè chiamata coppia ordinata di punti e (cioè si sa esattamente quale dei punti di questa coppia è il primo).

Il primo punto και chiamato inizio del vettore, e il secondo è suo πρόστιμο.

Si chiama la distanza tra l'inizio e la fine di un vettore lunghezzaΟ modulo vettoriale.

Viene chiamato un vettore il cui inizio e fine coincidono μηδέν ed è indicato con; la sua lunghezza è considerata pari a zero. Altrimenti, se la lunghezza del vettore è positiva, viene chiamato diverso da zero.

Σχόλιο. Se la lunghezza di un vettore è uguale a uno, viene chiamato ortomΟ vettore unitario ed è designato.

ΕΣΕΜΠΙΟ

Esercizio	Controlla se c'è un vettore ξεχωριστός.
Soluzione	Calcoliamo la lunghezza di un dato vettore, è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle συντεταγμένες: Poiché la lunghezza del vettore è uguale a uno, significa che il vettore è un orto.
Risposta	Vettore unitario.

Un vettore diverso da zero può anche essere definito come un segmento orientato.

Σχόλιο. La direzione del vettore zero non è definita.

Coseni direzionali di un vettore

ΟΡΙΣΜΟΣ

Coseni direzionali di un certo vettore si chiamano coseni degli angoli che il vettore forma con le direzioni θετικό degli assi συντονιστή.

Σχόλιο. La direzione di un vettore è determinata unicamente dai suoi coseni direzionali.

Per trovare i coseni direzionali di un vettore, è necessario normalizzare il vettore (cioè dividere il vettore per la sua lunghezza):

Σχόλιο. Le koordinate di un vettore unitario sono uguali ai suoi coseni di direzione.

ΘΕΩΡΗΜΑ

(Proprietà dei coseni direzionali). La somma dei quadrati dei coseni direzionali è uguale a uno:

La somma dei quadrati dei coseni direzionali è uguale a uno.

Se i coseni di direzione del vettore sono noti, le sue συντεταγμένη possono essere trovate utilizzando le formule: Formule simili si applicano nel caso tridimensionale - se i coseni di direzione del vettore sono noti, le sue συντεταγμένη possono u esmuletizane trov:

9 Dipendenza lineare indipendenza lineareβέττορι. Basi sull'aereo e nello spazio

L'insieme dei vettori viene chiamato sistema di vettori.

linearmente dipendente, se ci sono numeri che non sono tutti uguali a zero allo stesso tempo, quello

Viene chiamato un sistema di vettori γραμμική ανεξάρτητη, se l'uguaglianza è possibile solo per , cioè Quando συνδυασμός γραμμικός Sul lato sinistro l'uguaglianza è banale.

1. Un vettore forma anche un sistema: at - linearmente dipendente e at - linearmente indipendente.

2. Viene chiamata qualsiasi parte di un sistema di vettori σωττοσίστημα.

1. Se un sistema di vettori περιλαμβάνει un vettore nullo, allora è linearmente dipendente

2. Se un sistema di vettori ha due vettori uguali allora è linearmente dipendente.

3. Se un sistema di vettori ha due vettori proporzionali, allora è linearmente dipendente.

4. Un sistema di vettori è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei vetori è una combinazione lineare degli altri.

5. Qualsiasi vettore incluso nel lineare σύστημα ανεξάρτητου, formano un sottosistema linearmente indipendente.

6. Un sistema di vettori contenente un sottosistema linearmente dipendente è linearmente dipendente.

7. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente e dopo avervi aggiunto un vettore risulta essere linearmente dipendente, allora il vettore può essere espanso in vettori e, inoltre, in un modo unico, ad es. i coefficienti di dilatazione si possono trovare in modo univoco.

Βάση su un piano e nello spazio è detto sistema massimale di vettori linearmente indipendente su un piano o nello spazio (l'aggiunta di un altro vettore al sistema lo rende linearmente dipendente).

Pertanto, una base su un piano è costituita da due vettori qualsiasi non collineari presi in un certo ordine, e una base nello spazio è costituita da tre vettori qualsiasi non complanari presi in un certo ordine.

Sia una base nello spazio, allora, secondo T. 3, qualsiasi vettore dello spazio può essere scomposto in modo unico in vettori βάση: . I coefficienti dilatazione sono chiamati συντεταγμένη del vettore στη βάση

Scrittura di operazioni lineari sui vettori tramite συντεταγμένες:

α) addizione e sottrazione: - βάση

β) moltiplicazione per il numero R:

Le formule derivano dalle proprietà delle operazioni lineari.

10 Συντεταγμένη del vettore rispetto alla βάση. Όρτι

Βάση nello spazio vettoriale libero V3è una qualsiasi terna ordinata di vettori non complanari.

Permettere ΣΕ :un 1,un 2,un 3– βάσης φίσσα μέσα V3.

Συντεταγμένη vettore σιβάση rispetto alla ΣΕ chiamata tripla ordinata di numeri ( x, y, z), συμπεριλαμβανομένου σι=Χ· un 1+σιun 2+zun 3.

Ονομασία:b={x, y, z} σι Σημείωση: le συντεταγμένες di un vettore fisso indicano le συντεταγμένες del corrispondente vettore libero.

Θεώρημα 1: La corrispondenza tra V 3 e R 3 per una base fissa è biunivoca, cioè σι V3 ! {x, y, z) R 3 e ( x, y, z) R3! σι V3,συμπεριλαμβανομένου b={x, y, z} σι

La corrispondenza tra un vettore e le sue συντεταγμένη σε μια βάση δεδομένων ha le seguenti proprietà:

1. Permettere b1={x1, y1, z1} σι , b2={x2, y2, z2} σι b1 + b2 ={x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2} σι

2. Permettere b={x, y, z} σι , λRλ b={ λ· Χ, λ· σι, λ· z} σι

3. Lascia b1 || b2, b1 = {x1, y1, z1} σι , b2={x2, y2, z2} σι
(Qui: qualsiasi numero).

Vettore unitario, diretto lungo l'asse X, è indicato io, vettore unitario, diretto lungo l'asse Y, è indicato J, ΟΗΕ vettore unitario, diretto lungo l'asse Z, è indicato κ. Vettori io, J, κ sono chiamati όρτες– hanno moduli singoli, cioè
io = 1, j = 1, k = 1

11 prodotto scalare di vettori. Angolo tra i vettori. Condizione di ortogonalità vettoriale

Questo è un numero pari al prodotto delle lunghezze di questi vetori e del coseno dell'angolo compreso tra loro.

Prodotto scalare di vettori rispetto alle loro συντεταγμένη

Prodotto scalare di vettori X, Y, Z e:

περιστέρι è l'angolo tra i vettori e; se uno dei due, allora

Dalla definizione del prodotto scalare segue che dove, ad esempio, è l'entità della proiezione del vettore sulla direzione del vetore.

Vettore scalare quadrato:

Proprietà del prodotto scalare:

Angolo tra i vettori

Condizioni di ortogonalità vettoriale.

Λόγω vettore aeb ορθογώνιο (κάθετο), se il loro prodotto scalare è pari a μηδέν a· b= 0

Quindi nel caso di un problema vetoriale piano

a= (a x ;a y )e b= (b x ;b y )

sono ortogonali se a b= a x b x + a y b y = 0

12 prodotto vettoriale di vettori, sue proprietà. Condizione di collinearità dei vetori

Il prodotto vettoriale di un vettore e di un vettore è un vettore indicato da un simbolo e definito dalle seguenti tre condizioni:

1).

Il modulo del vettore è uguale a, dove è l'angolo tra i vettori e;

2). Il vettore è perpendicolare a ciascuno dei vettori e; 3). La direzione del vetore corrisponde alla “regola della mano destra”. Ciò significa che se i vettori, e vengono portati ad un'origine comune, allora il vettore deve essere diretto come diretto dito media

mano destra, il cui pollice è diretto lungo il primo fattore (cioè lungo il vettore) e l'indice - lungo il secondo (cioè lungo il vettore). Il prodotto vettoriale dipende dall'ordine dei fattori, ovvero: .

Il modulo del prodotto vettoriale è uguale all'area S di un παραλληλόγραμμα costruito sui vettori e: .

Il prodotto vettoriale stesso può essere espresso dalla formula,

περιστέρι è il vettore unitario del prodotto vettoriale.

Il prodotto vettoriale svanisce se e solo se i vettori e sono collineari. Ειδικότερα, .

Se il sistema di assi di συντεταγμένες è corretto e i vettori e sono specificati in questo sistema dalle loro συντεταγμένες:

quindi il prodotto vettoriale di un vettore e un vettore è determinato dalla formula

Un vettore è collineare a un vettore diverso da zero se e solo se le συντεταγμένη

i vettori sono proporzionali alle συντεταγμένη corrispondenti del vettore, cioè

13 prodotto misto di vettori. Le sue proprietà. Condizione di complanarità dei vetori

Prodotto misto di tre vettori, , è un numero uguale al prodotto scalare di un vettore e un vettore:

Proprietà di un prodotto misto:

3° Tre vettori sono complanari se e solo se

4° Una terna di vettori è giusta se e solo se. Se, allora i vettori, e formano la tripletta sinistra di vettori.

10° ταυτότητα Jacobi:

Se i vettori, e sono dati dalle loro συντεταγμένη, il loro prodotto misto viene calcolato dalla formula

Si chiamano vettori paralleli ad un piano o giacenti sullo stesso piano vettori complanari.

Condizioni di complanarità dei vetori

Tre i vettori sono complanari se il loro prodotto misto è μηδέν.

Tre i vettori sono complanari se sono linearmente dipendenti.

15 diversi tipi di equazioni lineari e piane

Qualsiasi linea retta sul piano può essere specificata da un'equazione del primo ordine

Ascia + Wu + C = 0,

Inoltre le costanti A e B non sono uguali a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine si chiama equazione generale della retta. A seconda dei valori delle costanti A, B e C, sono possibili i seguenti casi particolari:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – la retta passa ανά προέλευση

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - retta parallela all'asse del Bue

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – retta parallela all'asse Oy

B = C = 0, A ≠0 – la retta coincidence con l'asse Oy

A = C = 0, B ≠0 – la retta coincidence con l'asse del Bue

L'equazione di una retta può essere rappresentata in σε ποικίλη μορφήμια δεύτερη ημερομηνία έναρξης συνθηκών.