ゴールデンセクション法

セグメント上の点のそのような対称的な配置を検討してください [そして; b] 、そのうちの1つがサンプルポイントになり、元のセグメントの一部を除外した後に取得された新しいセグメント上にあります。 このようなポイントを使用すると、セグメントを除外する方法の各反復で、最初の反復を除いて、前の反復の1つで別の値がすでに検出されているため、1つの値のみを決定するように制限できます。

次のプロパティを持つポイント：それぞれがセグメントを分割します [そして; b] セグメント全体の長さとその大きい部分の長さの比率が、セグメントの大きい部分と小さい部分の長さの比率に等しくなるように、2つの等しくない部分に分割します。 このプロパティを持つポイントは呼ばれます ゴールデンレシオのドット セグメント [そして; b] ..。 これは、問題のメソッドの名前を説明しています。

ゴールデンセクション法のアルゴリズムを説明しましょう。

ステップ1.式で検索します。 計算します。 置く。

手順2.検索の終了を確認します。の場合は手順3に進み、そうでない場合は手順4に進みます。

ステップ3.新しいセグメントと新しいテストポイントに移行します。 の場合は、入れて計算します。そうでない場合は、入れて計算します。

横になって手順2に進みます。

ステップ4.検索の終了：put。

セグメントの削除による最小ポイントの検索は、2つのポイントでの関数の値の比較に基づいています。 この比較で、値の違い f（x） これらの時点では考慮されておらず、それらの兆候のみが重要です。

相対的な価値の変化に関する情報を検討する f（x） トライアルポイントで、許可します 多項式近似法 、それは機能のためのものです f（x） 近似多項式が作成され、その最小点が次の近似として機能します。 バツ *。 これらの方法を効果的に使用するには、機能ごとに f（x）、 単峰性に加えて、十分な滑らかさ（少なくとも連続性）の追加要件が課せられます。

近似精度を向上させるには、まず、多項式の次数を増やし、次に、近似セグメントの長さを短くすることができます。 最初の方法は、計算手順の急速な複雑化につながります。したがって、実際には、3次以下の近似多項式が使用されます。 同時に、ユニモーダル関数の最小点を含むセグメントを減らすことは難しくありません。

最も単純な多項式近似法であるパラボラ法は、2次多項式を使用します。 この方法を繰り返すたびに、二乗三項が作成され、そのグラフ（パラボラ）は関数のグラフの選択された3つのポイントを通過します。 f（x） （図2）。

パラボラ法について説明しましょう。 セグメントで単峰性を検討する [そして; b] 関数 f（x） このセグメントの内側のポイントで最小に達します。 セグメントの3つのポイントを選択してください [そして; b] 不平等が成り立つ

図： 2.パラボラ法のイラスト

単峰性の f（x） それに続く。 グラフが関数のグラフのポイントを通過する二乗三項を作成します f（x） ..。 の不等式（3）の少なくとも1つが厳密であると想定します（の場合、ポイントの検索 バツ * 関数の単峰性から、これは終わりました f（x） したがって、セグメントの各ポイントで最小値に達します）。 次に、（3）から、目的のパラボラの分岐が上向きになり、三項の最小点がセグメントに属することがわかります。

方程式系から係数を決定する

最小ポイント バツ 二乗三項 q（x） その導関数をゼロに等しくすることによって計算します。 我々が得る

数 バツ （4）からパラボラ法の次の近似として機能します バツ *。 さらに、不等式（3）を満たす新しい点について、説明した手順を繰り返します。

これらのポイントは、元のセグメントからポイントを含む新しいセグメントに移動することで選択できます。 バツ *、セグメントの除去の方法によって。 この遷移では、サンプルポイントとが使用され、これらのポイントの値が比較されます。 新しいセグメントの開始と終了、およびそれに該当するテストポイントは、プロパティ（3）と番号を持つ3つのポイントを形成します。 の場合は、そうでない場合を想定して検索を完了し、手順4に進みます。

ステップ4.値を計算します。 手順5に進みます。

手順5.数値の新しいトリプレットを決定します。 適切な値を割り当てる f（x）、 以前に見つかりました。 手順2に進みます。

トラペジウム法

ポイントを使用して、セグメントを等しい部分に分割します。

トラペジウム法は、積分を合計に置き換えることで構成されます。

台形式によって得られた近似の絶対誤差は、次の式を使用して推定されます。

パラボラ法（シンプソン法）

a）1つのパラボラだけが座標を持つ任意の3つのポイントを通過します。

b）セグメントのパラボラの下の領域を次のように表現します。

値を考慮に入れて、ポイントa）から次のようになります：

c）ポイントを使用してセグメントを等しい部分に分割します。

パラボラ法は、積分を合計に置き換えることで構成されます。

おおよその実用的な計算には、次の式が使用されます。

式（4）による絶対計算誤差は、次の関係によって推定されます。

「改ざんされていない」積分の計算精度の推定

この作品では、絶対との計算 相対誤差 確定積分の正確な値がわかっているという条件で実行されます。 ただし、すべての抗誘導体が存在する場合でも、基本的な機能によって最終的な形で表現されるわけではありません。 これらは、積分などで表される抗誘導体です。 そのようなすべての場合において、抗誘導体は、有限数の基本機能の組み合わせに還元されない新しい機能です。

このような関数の特定の積分は、おおよそしか計算できません。 このような場合の計算の精度を評価するために、たとえば、Rungeルールが使用されます。 この場合、積分は、選択した式（長方形、台形、シンプソンパラボラ）を使用して、ステップ数をnに等しく、次にステップ数をに等しくして計算されます。 ステップ数が等しい積分値を計算する際の誤差は、長方形と台形の式、およびシプソンの式については、ルンゲの式：によって計算されます。 したがって、積分はステップ数...の連続する値に対して計算されます。ここで、は初期ステップ数です。 計算プロセスは、次の値の条件が満たされたときに終了します。ここで、は指定された精度です。

積分間隔の異なるパーティションに対して同じ積分を数回計算しないようにするために、積分ステップを事前に計算することができます。

例。 長方形、台形、シンプソンの直交式を使用して、0.01の精度で積分を計算するための積分ステップを選択します。

長方形の直交式。

エラーが0.01になるステップを計算してみましょう。

無敵のサブインテグラル台形パラボラ

それ以来。

ステップで、セグメントは等距離のノードに分割されます。

台形の直交式。

なぜなら、 。

ステップで、セグメントは等距離のノードに分割されます。

シンプソンの直交式。

エラーが0.01のステップを計算してみましょう。

ステップで、セグメントは等距離のノードに分割されます。

ご想像のとおり、シンプソン直交式を使用して積分を計算することにより、等距離ノードの最小数が得られます。

学生には、次の4つの段階で構成される仕事が提供されます。

• ステージ1-明確な積分の正確な計算。
• ステージ2-方法の1つ（長方形または台形）による明確な積分の近似計算。
• ステージ3-パラボラ法による確定積分の近似計算。

ステージ4-近似法の絶対誤差と相対誤差の計算と比較：ここで、は積分の正確な解であり、は近似法を使用して得られた積分の値です。

被積分関数をプロットします。

バリアントとRGRの実行例を以下に示します。

オプション

RGRのサンプル実行

タスク。 積分を計算する

1.正確な計算：

2.長方形の式を使用した近似計算：

テーブルを作りましょう：

最初の長方形の式によると、次のようになります。

0.1 \u003d 0.1 3.062514 \u003d 0.306251。

2番目の長方形の式によると、次のようになります。

0.1 \u003d 0.1 4.802669 \u003d 0.480267。

この場合、最初の式は不足のある積分の値を示し、2番目の式は過剰のある積分の値を示します。

3.台形式を使用した近似計算：

私たちの場合、次のようになります。

0.1 \u003d \u003d 0.1 \u003d 0.1 4.095562 \u003d \u003d 0.409556。

相対誤差と絶対誤差を計算してみましょう。

4.シンプソンの式による近似計算：

私たちの場合、次のようになります。

相対誤差と絶対誤差を計算してみましょう。

実際、\u003d 0.40631714です。

したがって、シンプソンの式に従ってセグメントを10の部分に分割すると、5つの正しい符号が得られました。 台形式によると-3つの正しい兆候; 長方形の式では、最初の記号のみを保証できます。

台形法によって明確な積分を見つけるために、曲線状台形の面積も、高さh、底辺y 1、y 2、y 3、.. y nのn個の長方形台形に分割されます。ここで、nは長方形台形の数です。 積分は、長方形の台形の面積の合計に数値的に等しくなります（図4）。

図： 4

n-パーティションの数

台形式の誤差は、

トラペジウムの式の誤差は、長方形の式の誤差よりも成長が速くなるにつれて減少します。 したがって、台形式は長方形法よりも正確です。

シンプソンの公式

セグメントの各ペアについて、2次の多項式を作成し、それをセグメントに統合し、積分の加法性プロパティを使用すると、シンプソンの式が得られます。

シンプソンの方法では、明確な積分を計算するために、積分間隔全体が等しい長さh \u003d（b-a）/ nのサブ間隔に分割されます。 分割セグメントの数は偶数です。 次に、隣接するサブインターバルの各ペアで、被積分関数f（x）が2次のラグランジュ多項式に置き換えられます（図5）。

図： 五 セグメント上の関数y \u003d f（x）は、2次多項式に置き換えられます

セグメントの被積分関数について考えてみます。 この被積分関数を置き換えます 補間多項式 2次のラグランジュ、y \u003dポイントで一致：

セグメントに統合しましょう：

変数の変更を紹介しましょう：

置換式を考えると、

統合を実行した後、シンプソンの式を取得します。

積分に対して得られた値は、軸、直線、および点を通過する放物線によって囲まれた曲線の台形の面積と一致しますセグメント上で、シンプソンの式は次の形式になります：

パラボラ式では、パーティションx 1、x 3、...、x 2n-1の奇数点での関数f（x）の値は、偶数点x 2、x 4、...、x2n-2で係数4を持ちます-係数 2および2つの境界点でx0 \u003d a、x n \u003d b-係数1。

シンプソンの公式の幾何学的な意味：セグメント上の関数f（x）のグラフの下にある曲線の台形の面積は、パラボラの下にある図形の面積の合計にほぼ置き換えられます。

関数f（x）に4次の連続導関数がある場合、シンプソン式の誤差の絶対値は最大で

ここで、Mはセグメントの最大値です。 n4はn2よりも速く成長するため、シンプソン式の誤差は、台形式の誤差よりもはるかに速くnを増加させると減少します。

積分を計算します

この積分は簡単に計算できます。

nを10、h \u003d 0.1とし、パーティションのポイントとハーフ整数ポイントでの被積分関数の値を計算します。

真ん中の長方形の式によれば、I Straight \u003d 0.785606（誤差は0.027％）、台形の式I trap \u003d 0.784981（誤差は約0.054です。左右の長方形の方法を使用すると、誤差は3％以上）になります。

近似式の精度を比較するために、積分を再度計算します

しかし今はn \u003d 4のシンプソンの公式による。 セグメントを点x0 \u003d 0、x 1 \u003d 1/4、x 2 \u003d 1/2、x 3 \u003d 3/4、x 4 \u003d 1で4つの等しい部分に分割し、関数f（x）\u003d 1 /（の近似値を計算します 1 + x）これらのポイントで：y 0 \u003d 1.0000、y 1 \u003d 0.8000、y 2 \u003d 0.6667、y 3 \u003d 0.5714、y 4 \u003d 0.5000。

シンプソンの式を使用すると、

得られた結果の誤差を推定してみましょう。 被積分関数f（x）\u003d 1 /（1 + x）の場合、f（4）（x）\u003d 24 /（1 + x）5となり、セグメントのそれに続きます。 したがって、М\u003d 24を取ることができ、結果の誤差は値24 /（2880 4 4）\u003d 0.0004を超えません。 近似値を正確な値と比較すると、シンプソンの式によって得られた結果の絶対誤差は0.00011未満であると結論付けられます。 これは上記の誤差推定と一致しており、さらに、シンプソンの式が台形の式よりもはるかに正確であることを示しています。 したがって、明確な積分の近似計算のためのシンプソンの公式は、台形の公式よりも頻繁に使用されます。

問題は、直交式と呼ばれる式を使用して解決できる確定積分の数値計算で発生します。

数値積分の最も単純な式を思い出してみましょう。

おおよその数値を計算してみましょう。 積分の間隔[a、b]を分割点でn個の等しい部分に分割します
直交式のノードと呼ばれます。 ノードに値を知らせます
:

数量

積分間隔またはステップと呼ばれます。 計算の実践では、数iは小さく選択され、通常は10〜20以下であることに注意してください。部分的な間隔で

被積分関数は補間多項式に置き換えられます

これは、考慮される間隔で、関数f（x）をほぼ表します。

a）補間多項式の最初の項を1つだけ保持し、次に

結果の二乗式

長方形式と呼ばれます。

b）最初の2つの項を補間多項式に保持し、次に

(2)

式（2）は台形式と呼ばれます。

c）統合間隔
偶数の2nの等しい部分に分割すると、積分ステップhは次のようになります。 ..。 間隔で
長さが2hの場合、被積分関数を次数2の補間多項式に置き換えます。つまり、最初の3つの項を多項式に保持します。

結果の直交式はシンプソンの式と呼ばれます

(3)

式（1）、（2）、（3）は単純です。 幾何学的な意味..。 長方形の式では、間隔の被積分関数f（x）
は、横軸に平行な直線セグメントy \u003d ykに置き換えられ、台形式では-直線セグメントに置き換えられます。
そして、長方形と直線の台形の面積がそれぞれ計算され、それらが合計されます。 シンプソンの式では、間隔の関数f（x）
長さ2hの正方形の三項に置き換えられます-パラボラ
曲線の放物線状台形の面積が計算され、次に面積が合計されます。

結論

作業の最後に、上記の方法の適用のいくつかの特徴に注目したいと思います。 明確な積分の近似解法の各方法には、それぞれの長所と短所があり、目前のタスクに応じて、特定の方法を使用する必要があります。

可変交換方式は、不定積分を計算するための主要な方法の1つです。 他の方法で統合する場合でも、中間計算で変数を変更する必要があることがよくあります。 統合が成功するかどうかは、与えられた積分を単純化するような変数の変更が成功するかどうかに大きく依存します。

本質的に、統合方法の研究は、被積分関数のある形式または別の形式に対してどのような種類の変数の変更を行う必要があるかを見つけることに限定されます。

この方法では、 任意の合理的な部分の統合 多項式といくつかの単純な分数を統合することになります。

合理的な関数の積分は、有限の形式の基本関数で表すことができます。

対数を介して-タイプ1の最も単純な部分の場合。

合理的な関数の観点から-タイプ2の最も単純な部分の場合

対数とアークタンジェントを介して-タイプ3の最も単純な部分の場合

合理的な関数とアークタンジェントの観点から-タイプ4の最も単純な部分の場合。 ユニバーサル 三角測量置換 常に被積分関数を合理化しますが、多くの場合、非常に面倒な合理的な分数になります。特に、分母の根を見つけることはほとんど不可能です。 したがって、可能な場合は常に、部分的な置換が使用されます。これにより、被積分関数も合理化され、より複雑でない部分になります。

ニュートン-ライプニッツ式 明確な積分を見つけるための一般的なアプローチです。

明確な積分を計算するための技術に関しては、それらは実際にはそれらすべての技術および方法と異ならない。

同様に適用 置換方法 （変数の変更）、パーツによる統合の方法、三角関数、非合理的、および超越的な機能のための抗誘導体を見つける同じ方法。 唯一の特徴は、これらの手法を適用する場合、被積分関数だけでなく、積分の限界にも変換を拡張する必要があるということです。 統合の変数を置き換えるときは、それに応じて統合の制限を変更することを忘れないでください。

上手 定理から、関数の連続性条件 関数が統合可能であるための十分な条件です。 しかし、これは、明確な積分が連続関数に対してのみ存在することを意味するものではありません。 統合可能な関数のクラスははるかに広いです。 したがって、たとえば、有限数の不連続点を持つ関数の明確な積分があります。

Newton-Leibnizの式を使用して連続関数の明確な積分を計算すると、常に存在するが常にではない抗誘導体を見つけることになります。 基本機能 または、テーブルが作成された関数で、積分の値を取得できます。 多くのアプリケーションでは、統合される関数は表形式で示され、Newton-Leibnizの式は直接適用できません。

最も正確な結果が必要な場合は、理想的です シンプソン法.

以上のことから、積分は物理学、幾何学、数学、その他の科学などの科学で使用されているという結論を導き出すことができます。 積分を使用して、力の仕事が計算され、質量中心の座標、物質点が移動した経路が見つけられます。 ジオメトリでは、ボディのボリュームの計算、曲線の円弧の長さの検索などに使用されます。

x i -1/2 =(x i+x i -1）/ 2-中間 私-番目のセグメント

セグメント上[ x i -1 , x i]被積分関数 f(バツ）3次多項式Pとして 私(バツ）。 この多項式は、グリッドポイントおよびセグメントの中央での被積分関数の値と等しくなければなりません：P 私(xi- 1)=f(x i -1）-左境界の関数の値に対する多項式の同等性 私-番目のセグメント、

P 私(x i- 1/2) = f(x i -1/2）、P 私(x i) = f(x i).

このような多項式は、たとえば次のように書くことができます。

P 私(バツ)=a+ b（ x-x i -1）+ c（ x-x i -1)(x-x i -1/2),

ここに a、b、c-決定される未知の係数。

幅の表記を紹介しましょう 私-番目のセグメント：h 私=x i-x i -1 ,

その後（ x-x i -1/2）\u003d h 私/ 2、および（ x i -1/2 -x i -1）\u003d h 私/2.

多項式の値を左、右の境界と中央に書き込みます 私-番目のセグメント

P 私(x i) = a+ b * h i +c * h 私* h 私/2 = f(x i)= f i (1)

P 私(x i- 1) = a= f(x i -1)= f i -1 (2)

P 私(x i- 1/2)= f(x i -1/2)= a+ b * h 私/2 \u003d f i -1/2 (3)

関係（2）から次のようになります a= f i -1 ,

式（3）から、b \u003d hであることが簡単にわかります。 私 (f i -1/2 --f i)/2,

式（1）から、c \u003d 2（ f i-a-b h 私）/ h 私 2、係数aとbの式を係数cの式に代入すると、次のようになります。

c \u003d 2（ f i-f i -1）/ h 私 2 – （2 / h 私）（2 / h 私)(f i -1/2 - f i -1 ) ,

c \u003d 2 [ f i-f i -1 -2 f i -1/2 +2 f i -1] / h 私 2 ,

c \u003d 2 [ fi-2 f i -1/2 +f i -1] / h 私 2 .

見つかった係数を代入します a、b、cを多項式式に変換：

P 私(バツ)= f i -1 + 2(f i -1/2 - f i -1)( x -x i -1）/ h 私+ 2 [fi-2 f i -1/2 +f i -1 ] ( x -x i -1) ( x -x i -1/2）/ h 私 2

変数xから変数t \u003dに移動しましょう x -x i -1

次に、dt \u003d d バツ、および バツ= x i -1; t \u003d 0、 バツ= x i; t \u003d h 私 で

バツ= x i -1/2 =バツ-( x i -x i -1)/2= バツ-x i/2 -x i -1 /2= バツ- x i -1 + x i -1 /2-x i/ 2 \u003d t-h 私/2

その後、 私-th間隔では、導入された指定を考慮した積分の値を次のように書くことができます。

値を式に代入します 係数a、b およびc

この方法では、

S 私 -の積分値です 私thセグメント。 aからbまでのセグメントの積分を取得するには、すべてのSを加算する必要があります。 私

hの場合 私\u003d任意のh 私\u003d 1、...、Nの場合、シンプソンの式は簡略化できます

(4)

式（4）は単純化できます。このために、式の括弧を合計記号の下で開きます。

最初の合計から、その時点での関数の値を選択します バツ=a

,

そして最後の合計から-その時点での関数の値 バツ=b

その結果、均一なグリッドに対して機能するシンプソン式が得られます。

それを考慮に入れましょう、 、シンプソン式の最終式を取得します

式（5）の最初の合計は、セグメントのすべての内部ノードでの関数の値の合計を計算し、2番目の合計は、中間点での関数の値の合計を計算します 私-番目のセグメント。

セグメントの中点がノードとともにグリッドに含まれている場合、新しいステップはh 0 \u003d h / 2 \u003d（b-a）/（2 * n）であり、式（5）は次のように記述できます。

検討する ..。 この積分の値は分析的に簡単に見つけることができ、-0.75に等しくなります。 次数3以下の多項式の形式の被積分関数に対するシンプソンの方法は正確な値を与えます。

シンプソン法（式（5））によってこの積分を計算するためのアルゴリズム。

iを1からn-1にループします

サイクルの終わり

iを1からnまで循環させる

サイクルの終わり

s \u003d h *（f0 + 2 * s1 + 4 * s2 + fn）/ 6

関数f1

パラメータx

x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + x * 4-4を返す

言語でシンプソン法により積分を計算するためのプログラムの例 VFP（式（6）による）：

10進数を10に設定

？ "I \u003d"シンプソン（0,2,20）

手順シンプソン

パラメータa、b、n

S_even \u003d 0

S_奇数\u003d 0

x \u003d a + hからb-hの場合ステップ2 * h

S_奇数\u003d S_奇数+4 * f（x）

x \u003d a + 2 * hからb-hの場合ステップ2 * h

S_even \u003d S_even + 2 * f（x）

S \u003d f（a）* h / 3 +（S_even + S_even）* h / 3 + f（b）* h / 3

言語でのソリューションの例 VBA:

「その抗誘導体によって積分の値を計算することの正確さをチェックするための手順

s_偶数\u003d 0

s_奇数\u003d 0

x \u003d a + hの場合b-hへステップ2 * h

s_奇数\u003d s_奇数+4 * f（x）

Debug.Print "s_ odd \u003d"＆s_ odd

x \u003d a + 2 * hの場合b-hステップ2 * h

s_偶数\u003d s_偶数+2 * f（x）

Debug.Print "s_even \u003d"＆s_even

s \u003d h / 3 *（f（a）+（s_偶数+ s_奇数）+ f（b））

Debug.Print "シンプソンメソッド：s \u003d"＆s

Debug.Print "Antiderivative value：s_test \u003d"＆s_test（b-a）

VBAプログラムを実行した結果：

s_奇数\u003d 79.9111111111111

s_偶数\u003d 36.0888888888889

シンプソンの方法：s \u003d 2.66666666666667

アンチデリバティブ値：s_test \u003d 2.66666666666667

質問を管理する

1.明確な積分とは何ですか？

2.長方形の方法のアルゴリズムを与えます。

3.間隔で、関数f（x）は単調に増加します。 I 1-左の長方形の方法で計算されたセグメントの関数f（x）の積分値、I 0-中央の長方形の方法で計算されたセグメントの関数f（x）の積分の値。 これらの方法で計算された積分の値は異なりますか？ 値が異なる場合、どちらが大きいですか？ 何が違いますか？

4.単調に減少する関数の右長方形の方法で積分を計算するための誤差を推定します。

5.台形法のアルゴリズムを与える。

6.シンプソン法のアルゴリズムを与えます。

7.反復法で積分を計算する際の誤差をどのように決定しますか？

8.明確な積分を計算する際の誤差が最も小さい方法はどれですか？

9.シンプソンの方法の式を取得します。

タスク

次の積分を方法で計算します：長方形、台形、シンプソンを0.001の精度で計算し、これらの方法で計算結果の誤差を推定します。

2.

3.

4.

5.

10.

11.

14.

18.