ガスと外力の働き。 あなたを助ける基本的な熱力学的および分子物理学の公式

熱力学的プロセスを検討する場合、マクロボディ全体の機械的な動きは考慮されません。 仕事の概念は、ここでは体のボリュームの変化に関連付けられています。 マクロボディの相互の可動部分。 このプロセスは、粒子間の距離の変化につながり、またしばしば粒子の移動速度の変化につながり、したがって、体の内部エネルギーの変化につながります。

ある温度で可動ピストンを備えたシリンダー内にガスがあるようにします T 1（図1）。 ガスをゆっくりと温度まで加熱します T 2.2。 ガスは等圧で膨張し、ピストンは位置から外れます 1 所定の位置に 2 距離Δ l..。 この場合、ガス圧の力が外部の物体に作用します。 なぜなら p \u003d const、次に圧力 F = pS また一定。 したがって、この力の仕事は次の式で計算できます。

\\（〜A \u003d F \\ Delta l \u003d pS \\ Delta l \u003d p \\ Delta V、\\ qquad（1）\\）

ここで、Δ V -ガス量の変化。 ガスの量が変化しない場合（等張プロセス）、ガスの仕事はゼロです。

ガス圧の力は、ガス量が変化したときにのみ機能します.

拡大時（Δ V \u003e 0）ガスの場合、ポジティブワークが実行されます（ そして \u003e 0）; 圧縮下（Δ V < 0) газа совершается отрицательная работа (そして < 0), положительную работу совершают внешние силы そして' = -そして > 0.

ガスの2つの状態のClapeyron-Mendeleev方程式を書いてみましょう。

\\（〜pV_1 \u003d \\ frac mM RT_1; pV_2 \u003d \\ frac mM RT_2 \\ Rightarrow \\）\\（〜p（V_2-V_1）\u003d \\ frac mM R（T_2-T_1）。\\）

したがって、等圧プロセスでは

\\（〜A \u003d \\ frac mM R \\ Delta T. \\）

場合 m = M （1 molの理想的なガス）、次にΔ Τ \u003d 1 K R = A..。 これは、ユニバーサルガス定数の物理的意味を意味します。これは、等圧で1 K加熱されたときに、1モルの理想的なガスによって行われる作業に数値的に等しくなります。

チャート上 p = f(V）等圧プロセスでは、作業は図2の影付きの面積と長方形に等しくなります。

プロセスが等圧でない場合（図2、b）、曲線 p = f(V）は、多数のアイソコアとアイソバーで構成される破線として表すことができます。 アイソコリックセクションの作業はゼロであり、すべてのアイソコリックセクションの合計作業は次のようになります。

\\（〜A \u003d \\ lim _（\\ Delta V \\ to 0）\\ sum ^ n_（i \u003d 1）p_i \\ Delta V_i \\）、または\\（〜A \u003d \\ int p（V）dV、\\）

それら。 影付きの図の面積に等しくなります。 等温プロセスで（ T \u003d const）作業は、図2に示されている影付きの図の面積と同じですc。

体積が変化したときにガス圧がどのように変化するかがわかっている場合にのみ、最後の式を使用して作業を決定することができます。 関数の形式は既知です p(V).

したがって、ガスは膨張したときに機能します。 膨張プロセス中に作業を実行するためのガスの特性に基づいて動作するデバイスおよびユニットは、 空気圧..。 この原理で、空気圧ハンマー、輸送時にドアを開閉する機構などが作動します。

文献

Aksenovich L.A.高校の物理学：理論。 タスク。 テスト：教科書。 一般の受領を提供する機関のための手当。 環境、教育/ L. A. Aksenovich、N。N。Rakina、K。S。Farino; エド。 K.S.ファリーノ。 -ミンスク：Adukatsya i vyhavanne、2004年。-P.155-156。

熱力学で働く

熱力学では、力学とは異なり、考慮されるのは体全体の動きではなく、熱力学システムの部分の相対的な変化のみであり、その結果、その体積が変化します。

等圧膨張中のガスの働きを考えてみましょう。

ガスがピストンからのガスに作用する力$（F "）↖（→）$と大きさが等しく、方向が反対の力$（F"）↖（→）$でピストンに作用するときにガスが行う仕事を計算してみましょう：$ （F "）↖（→）\u003d-（F"）↖（→）$（ニュートンの第3法則による）、$ F "\u003d pS $、ここで$ p $はガス圧、$ S $はピストン表面積です。 膨張の結果としてのピストン変位$ ∆h $が小さい場合、ガス圧は一定であると見なすことができ、ガス仕事は次のようになります。

$ A "\u003d F" ∆h \u003d pS∆h \u003d p∆V $

ガスが膨張すると、ピストンの動きが力$（F "）↖（→）$と一致するため、正の仕事をします。ガスが圧縮されている場合、ピストンの動きは力$（F"）↖と反対であるため、ガスの仕事は負になります。 （→）$。 マイナス記号は式に表示されます$ A "\u003d F" ∆h \u003d pS∆h \u003d p∆V $：$ ∆V

反対に、外力$ A $の作用は、ガスが圧縮されると正になり、膨張すると負になります。

ガスに対して前向きな仕事をしている間、外部の体は彼らのエネルギーの一部をガスに移します。 ガスが膨張すると、外部の物体がそのエネルギーの一部をガスから奪います-外力の働きは負です。

圧力対体積$р（V）$のグラフでは、作業は曲線$р（V）$、軸$ V $、セグメント$ ab $および$ cd $で囲まれた領域として定義され、初期値（$ V_1 等圧プロセスと等温プロセスの両方の最終（$ V_2 $）状態の$）および$р_2$。

熱力学の最初の法則

熱力学の第一法則（第一法則）は、熱力学システムのエネルギーの保存と変換の法則です。

熱力学の第一法則によれば、仕事は熱または他の何らかの形のエネルギーによってのみ行うことができます。 その結果、仕事と熱量は同じ単位で測定されます-ジュール（およびエネルギー）。

熱力学の最初の法則は、1842年にドイツの科学者J. L. Mayerによって策定され、1843年に英国の科学者J.Jouleによって実験的に確認されました。

熱力学の最初の法則 次のように定式化されます。

ある状態から別の状態への遷移中のシステムの内部エネルギーの変化は、外力の作用とシステムに伝達される熱量の合計に等しくなります。

ここで、$ ∆U $は内部エネルギーの変化、$ A $は外力の作用、$ Q $はシステムに伝達される熱の量です。

$ ∆U \u003d A + Q $から次のようになります 内部エネルギーの保存の法則。 システムが外部の影響から分離されている場合、$ A \u003d 0 $および$ Q \u003d 0 $であるため、$ ∆U \u003d 0 $となります。

隔離されたシステムで行われるプロセスの場合、その内部エネルギーは一定のままです。

作業が外力ではなくシステムによって行われる場合、式（$ ∆U \u003d A + Q $）は次のように記述されます。

ここで、$ A "$は、システムによって実行される作業です（$ A" \u003d --A $）。

システムに伝達される熱の量は、システムの内部エネルギーを変更し、システムが外部の物体に作用するために使用されます。

熱力学の最初の法則は、第1の種類の永久運動機械の存在の不可能性として定式化することができます。これは、いかなるソースからもエネルギーを引き出すことなく、つまり内部エネルギーのみによって機能します。

実際、体が熱を受けない場合（$ Q \u003d 0 $）、式$ Q \u003d ∆U + A "$によると、作業$ A" $は、内部エネルギー$ A "\u003d -∆U $の減少によってのみ実行されます。 エネルギー供給が使い果たされると、エンジンは動作を停止します。

仕事と熱量の両方が内部エネルギーを変化させるプロセスの特性であるため、システムに一定量の熱または仕事が含まれているとは言えないことを覚えておく必要があります。 どの状態のシステムにも、特定の内部エネルギーしかありません。

熱力学の第一法則のさまざまなプロセスへの適用

熱力学の第一法則をさまざまな熱力学プロセスに適用することを考えてみましょう。

等時性プロセス。 熱力学図への依存性$ p（T）$が示されています イソチョラ。

アイソコリック（アイソコリック）プロセスは、システム内で一定の体積で発生する熱力学的プロセスです。

アイソコリックプロセスは、一定容量の容器に封入された気体および液体で実行できます。

アイソコリックプロセス中、ガス量は変化せず（$ ∆V \u003d 0 $）、熱力学の第1法則によれば、$ Q \u003d ∆U + A "$、

つまり、作業（$ A \u003dpΔV\u003d 0 $）はガスによって実行されないため、内部エネルギーの変化は伝達された熱の量に等しくなります。

ガスが熱くなると、$ Q\u003e 0 $および$ ∆U\u003e 0 $となり、その内部エネルギーが増加します。 ガスが冷却されると、$ Q

等温プロセスグラフィカルに描かれています 等温線。

等温プロセスは、一定の温度でシステム内で発生する熱力学的プロセスです。

ガスの内部エネルギーは等温プロセス中に変化しないため（$ T \u003d const $）、ガスに伝達されるすべての熱量が作業を実行します。

ガスが熱を受け取ると（$ Q\u003e 0 $）、ポジティブな働きをします（$ A "\u003e 0 $）。ガスが環境に熱を放出する場合、$ Q

等圧プロセス熱力学図は 等圧.

等圧（等圧）プロセスは、一定の圧力$ p $のシステムで発生する熱力学的プロセスです。

等圧プロセスの例は、自走式の負荷付きピストンを備えたシリンダー内のガス膨張です。

等圧プロセスでは、式$ Q \u003d ∆U + A "$に従って、ガスに伝達される熱量は、その内部エネルギー$ ∆U $を変更し、一定の圧力でそれによって作業$ A" $を実行します。

理想的なガスの仕事は、等圧プロセスの依存性$ p（V）$のプロットから決定されます（$ A "\u003dpΔV$）。

等圧プロセスの理想的なガスの場合、体積は温度に比例します。実際のガスでは、熱の一部が粒子の平均相互作用エネルギーの変化に費やされます。

断熱プロセス

断熱プロセス（断熱プロセス）は、環境との熱交換なしにシステムで発生する熱力学的プロセスです（$ Q \u003d 0 $）。

システムの断熱的隔離は、デュワー船、いわゆる断熱シェルでほぼ達成されます。 断熱的に隔離されたシステムは、周囲の体の温度の変化の影響を受けません。 その内部エネルギーは、システム上の外部機関またはシステム自体によって行われた作業によってのみ変化する可能性があります。

熱力学の最初の法則（$ ∆U \u003d A + Q $）によると、断熱システムでは

ここで、$ A $は外力の働きです。

断熱ガス膨張の場合$ A

その結果、

$ ∆U \u003d（i）/（2）（m）/（M）R∆T

これは、断熱膨張中の温度の低下を意味します。 それは、ガス圧が等温プロセスよりも急激に低下するという事実につながります。

この図では、2つの等温線の間を通過するadiabat $ 1〜2 $が、言われていることを明確に示しています。 断熱材の下の面積は、体積$ V_1 $から$ V_2 $への断熱膨張中にガスによって行われた作業に数値的に等しくなります。

断熱圧縮は、ガス分子とピストンの弾性衝突の結果として、膨張とは対照的に、減少するとガス分子の平均運動エネルギーが増加するため、ガス温度の上昇につながります（最初の場合、ガス分子の速度は増加し、2番目の場合は減少します）。

断熱圧縮中の空気の急激な加熱は、ディーゼルエンジンで使用されます。

ヒートエンジンの動作原理

ヒートエンジンは、燃料の内部エネルギーを機械的エネルギーに変換する装置です。

熱力学の第2法則によれば、ヒートエンジンは、高温のボディ（ヒーター）から熱を受け取るだけでなく、加熱の少ないボディ（冷凍機）に熱を放出する場合、周囲のボディの冷却により、定期的に繰り返される機械的作業を継続的に実行できます。 したがって、ヒーターから受け取った熱量のすべてが作業の実行に使用されるのではなく、その一部のみが使用されます。

したがって、ヒートエンジンの主な要素は次のとおりです。

1. 作業を行う作動流体（ガスまたは蒸気）。
2. 作動流体にエネルギーを供給するヒーター。
3. 作動流体からエネルギーの一部を吸収する冷蔵庫。

ヒートエンジン効率

エネルギー節約の法則によれば、エンジンによって行われる作業は次のようになります。

$ A "\u003d | Q_1 |-| Q_2 | $

ここで、$ Q_1 $はヒーターから受け取った熱量、$ Q_2 $は冷蔵庫に与えられた熱量です。

効率ヒートエンジンの（効率）は、ヒーターから受け取った熱量に対するエンジンによって実行された作業$ A "$の比率です。

$η\u003d（A "）/（| Q_1 |）\u003d（| Q_1 |-| Q_2 |）/（| Q_1 |）\u003d 1-（| Q_2 |）/（| Q_1 |）$

すべてのエンジンが熱を冷蔵庫に伝達するため、$η

ヒートエンジンの効率は、ヒーターと冷蔵庫の温度差に比例します。 $ T_1 --T_2 \u003d 0 $の場合、エンジンは実行できません。

カルノーサイクル

カルノーサイクルは、2つの等温プロセスと2つの断熱プロセスで構成される循環可逆プロセスです。

このプロセスは、1824年にフランスのエンジニア兼科学者であるN. LSカルノーによって、「火の推進力とこの力を発生させることができる機械に関する考察」という本で初めて検討されました。

カルノーの研究の目的は、当時のヒートエンジンの不完全さの理由を明らかにすることでした（彼らは$の効率を持っていました< 5%$)и поиски путей их усовершенствования.

2つの等温プロセスと2つの断熱プロセスの選択は、等温膨張中のガスの働きがヒーターの内部エネルギーによるものであり、断熱プロセス中のガスの作用が膨張するガスの内部エネルギーによるものであるという事実によるものでした。 このサイクルでは、温度の異なる物体の接触が排除されるため、作業を行わずに熱伝達が排除されます。

カルノーサイクルは、可能な限り最も効率的なサイクルです。 その効率は最大です。

この図は、サイクルの熱力学的プロセスを示しています。 $ T_1 $の温度での等温膨張（$ 1-2 $）のプロセスでは、ヒーターの内部エネルギーを変更することによって、つまり、ガスに熱量$ Q_1 $を供給することによって、作業が実行されます。

$ A_（12）\u003d Q_1。$圧縮前のガス冷却（$ 3-4 $）は、断熱膨張（$ 2-3 $）中に発生します。 断熱プロセス（$ Q \u003d 0 $）中の内部エネルギー$ ∆U_（23）$の変化は、完全に機械的作業に変換されます。

$ A_（23）\u003d-∆U_（23）$

断熱膨張の結果としてのガス温度（$ 2-3 $）は冷蔵庫の温度まで低下します$ T_2

サイクルは断熱圧縮（$ 4-1 $）のプロセスで終了し、その間にガスは温度$ T_1 $に加熱されます。

カルノーサイクルによる、理想的なガスで動作するヒートエンジンの効率の最大値：

$η\u003d（T_1-T_2）/（T_1）\u003d 1-（T_2）/（T_1）$

式$η\u003d（T_1-T_2）/（T_1）\u003d 1-（T_2）/（T_1）$の本質は、S。Carnotによって証明された定理で表されます。 どのヒートエンジンも、ヒーターと冷蔵庫の同じ温度で実行されるカルノーサイクルの効率を超えることはできません。

構造が変形すると、外力の作用点が移動し、外力が所定の変位に対して作用します。

移動する質量の慣性力を無視するのに十分ゆっくりとゼロから所定の値まで増加する一般化された力（図2.2.4）の仕事を計算してみましょう。 この負荷は通常、静的と呼ばれます。

図2.2.4

任意の変形の瞬間に力を与えます 一般化された変位は対応します ..。 によって力の無限に小さな増分
旅行の無限に小さな増分を引き起こします
..。 無限に少量の二次を無視すれば、外力の基本的な働きは明らかです。

静的に適用された一般化された力によって行われた完全な作業 一般化された変位を引き起こす ,

. (2.2.5)

結果の積分は、図の領域です
、線形に変形したシステムの場合、これは最終的な変位値のベースを持つ三角形の領域です そして最終的な力の値の高さ

(2.2.6)

図： 2.2.5

したがって、弾性システムに対する一般化された力の静的作用下での実際の仕事は、力の最終値と対応する一般化された変位の最終値の積の半分に等しい（クラペイロンの定理）。

弾性システムに対するいくつかの一般化された力の静的作用の場合、変形の仕事は、対応する総変位の最終値による各力の最終値の積の半和に等しい。

(2.2.7)

また、システムのロード順序には依存しません。

内力の働き。

弾性システムの変形から生じる内力も機能します。

長さのある棒要素を考えてみましょう
（図2.2.6）。 一般的な場合、平面曲げの場合、左側の要素に対するロッドの除去された部分の作用は、結果として生じる軸方向の力によって表されます。
、横力 と曲げモーメント
..。 図2.2.6に実線で示されているこれらの力は、強調表示された要素に対して外部にあります。

図2.2.6

破線で示されている内力は、外力による変形を防ぎ、大きさが等しく、方向が逆になっています。

内力係数ごとに別々に行われる作業を計算してみましょう。

エレメントに、セクション全体に均等に分散された軸方向の力の作用のみを体験させます（図2.2.6）。

図： 2.2.7

この結果としての要素の伸び

,

作業はゼロからマグニチュードまで徐々に増加します
この動きに対する内力。

. (2.2.8)

内力の作用は負であるため、結果の式にはマイナス記号が含まれます。

ここで、曲げモーメントの作用下にある要素について考えてみます（図2.2.8）。

要素セクションの相互回転角度

.

曲げモーメントの仕事

. (2.2.9)

図： 2.2.8

断面全体のせん断応力の分布を考慮し、フックの法則に基づいて、内部せん断力を徐々に増加させる作業は、次の形式で記述できます。

, (2.2.10)

どこ -断面形状に応じた係数。

バーにねじれがかかると、徐々にトルクを上げていく基本的な作業

(2.2.11)

最後に、セクション内のバーに対するアクションの一般的なケースでは、6つの内力係数があり、その作用は次の式で決定できます。

\u003e\u003e物理学：熱力学で働く

どのようなプロセスの結果として、内部エネルギーは変化する可能性がありますか？ このようなプロセスには、作業の完了と熱伝達の2つのタイプがあることをすでにご存知でしょう。 仕事から始めましょう。 ガスや他の物体の圧縮と膨張とは何に等しいですか？
力学と熱力学で働きます。 AT 力学 仕事は、力の係数、その適用点の変位の係数、およびそれらの間の角度の余弦の積として定義されます。 力が移動体に作用するとき、仕事はその運動エネルギーの変化に等しい。
AT 全体としての体の動きは考慮されていません、 来る 巨視的な体の部分の相対的な動きについて。 その結果、体のボリュームは変化する可能性がありますが、その速度は残ります ゼロに等しい..。 熱力学の仕事は力学と同じ方法で定義されますが、それは体の運動エネルギーの変化ではなく、その内部エネルギーの変化に等しいです。
仕事をするときの内部エネルギーの変化。 体が収縮または拡張すると、体の内部エネルギーが変化するのはなぜですか？ 特に、自転車のタイヤを膨らませるときに空気が熱くなるのはなぜですか？
圧縮中にガス温度が変化する理由は次のとおりです。 ガス分子と移動するピストンとの弾性衝突中に、それらの運動エネルギーが変化します..。 そのため、ガス分子に向かって移動すると、ピストンは衝突時にその機械的エネルギーの一部をガス分子に伝達し、その結果、ガスが加熱されます。 ピストンは、サッカー選手がボールを空中に蹴るような働きをします。 脚は、ボールに衝撃前の速度よりも大幅に速い速度を与えます。
逆に、ガスが膨張すると、後退するピストンと衝突した後、分子の速度が低下し、その結果、ガスが冷却されます。 サッカー選手は、飛んでいるボールの速度を落としたり止めたりするために同じように行動します。サッカー選手の足は、ボールに道を譲るように、ボールから離れます。
圧縮または拡張すると、分子間の相互作用の平均ポテンシャルエネルギーも変化します。これは、分子間の平均距離が変化するためです。
仕事の計算。 ピストン下のシリンダー内のガスの例を使用して、体積の変化に応じた仕事を計算してみましょう（ 図13.1).

最初に、外部本体（ピストン）からガスに作用する力の仕事ではなく、力でピストンに作用するガス圧力力が行う仕事を計算するのが最も簡単です。 ニュートンの第三法則によると ..。 ガス側からピストンに作用する力の係数は どこ p -ガス圧、および S ピストンの表面積です。 ガスを等圧的に膨張させ、ピストンを力の方向にわずかな距離だけ変位させます ..。 ガス圧は一定であるため、ガスの仕事は次のようになります。

この作品は、ガスの量の変化によって表現することができます。 その初期ボリューム V 1 \u003d Sh 1そして最後の V 2 \u003d Sh 2..。 したがって、

ガス量の変化はどこですか。
膨張するとき、力の方向とピストンの動きの方向が一致するので、ガスは積極的な働きをします。
ガスが圧縮されている場合、ガスの作用に関する式（13.3）は引き続き有効です。 でも今 、 したがって (図13.2).

ジョブ Aガスに対して外部機関によって実行されるのは、ガス自体の作業とは異なります A´単なるサイン： 、ガスに作用する力は力に逆らって向けられ、ピストンの動きは同じままであるため。 したがって、ガスに作用する外力の作用は次のようになります。

ガスが圧縮されると、外力の作用が正になります。 これは当然のことです。ガスが圧縮されると、力の方向とその適用点の変位が一致します。
圧力が一定に保たれていない場合、膨張中にガスはエネルギーを失い、周囲の物体（上昇するピストン、空気など）に伝達します。この場合、ガスは冷却されます。 逆に、ガスが圧縮されると、外部の物体がそれにエネルギーを伝達し、ガスが加熱されます。
作品の幾何学的解釈。 作業 A´一定圧力の場合のガスは、単純な幾何学的解釈を与えることができます。
ガス圧が占める体積への依存性のグラフを作成しましょう（ 図13.3）。 これが長方形の領域です abdcスケジュールによる制限 p 1\u003d const、axis V およびセグメント ab そして cdガス圧に等しいは、数値的に仕事に等しい（13.3）：

一般的に、ガス圧は変化しません。 たとえば、等温プロセスでは、体積に反比例して減少します（ 図13.4）。 この場合、作業量を計算するには、ボリュームの変化の合計を小さな部分に分割し、基本（小さな）作業量を計算してから、それらをすべて加算する必要があります。 ガスの仕事はまだ数値的に依存グラフによって制限された図の面積に等しい p から V、軸 V およびセグメント ab そして cd圧力に等しい p 1, p 2 ガスの初期状態と最終状態で。

???
1.圧縮するとガスが熱くなるのはなぜですか？
2.図13.2に示す等温プロセス中に、外力は正または負の仕事をしていますか？

G.Ya. Myakishev、B.B。Bukhovtsev、N.N。Sotsky、Physics Grade 10

このレッスンの修正や提案がある場合は、

構造に荷重を加えると変形します。 この場合、構造の一部は静止状態から抜け出し、ある程度の速度と加速を獲得します。 負荷がゆっくりと増加する場合、これらの加速度は小さいため、システムが変形状態に移行する間に発生する慣性力は無視できます。 このようなスムーズな（段階的な）負荷の適用は、静的と呼ばれます。

ある弾性システムに静的に加えられる外部荷重、たとえば力Pの作用を定義しましょう（図1.11）。その材料はフックの法則を満たしています。

小さな変形では、力の作用の独立性の原則がこのシステムに適用可能であり、したがって、構造の個々の点およびセクションの動きは、それらを引き起こす荷重の値に正比例します。 AT 一般的な見解 この依存関係は、等式によって表すことができます

ここでA-力Pの作用方向の変位。 a-構造の材質、レイアウト、寸法に応じた係数。

力Pを無限に小さくしてみましょう。この増分により、変位が一定量増加します。

変位に対する外力の基本的な働きの表現を構成し、2次の小ささの無限に少量を破棄しましょう。

式（1.11）に基づく値を次の式に置き換えます。

この式をゼロからその最終値までの力の総変化の範囲内で統合すると、静的に適用された作業を決定するための式が得られます。 外力 R：

結果の式は次のように表すことができるため

一般的な場合、力Pの方向は、それによって引き起こされる移動の方向と一致しない場合があります。 仕事量は、この力の方向に移動した経路による力の積によって決定されるため、値Aは、力の方向に対する力の作用点の実際の（完全な）変位の投影として理解されるべきです。 たとえば、力Pが水平軸に対してある角度で作用する場合（図2.11）、変位Aはセグメントによって測定されます（力Pの方向への実際の変位の投影を表します）。

ZKモーメント（集中モーメント）で一対の力をシステムに加えた場合も同様に仕事の表現が得られます。 この場合、集中モーメントに対応する動きの種類を選択する必要があります。 これは、モーメントが適用されるバーの断面の回転角度になります。

たとえば、図に示すビームに静的に適用されるモーメントの仕事。 3.11、

ここで、Oは、モーメントШが適用されるビームのセクションの回転角度（ラジアン単位）です。

したがって、弾性構造に対する静的作用下での外力の作用は、この力の値と対応する変位の値の積の半分に等しくなります。

得られた結論を一般化するために、力とは、弾性システムに適用される任意のアクション、つまり、集中力だけでなく、モーメント、均一に分散された負荷などを意味します。 変位とは、与えられた力が作用を生み出す変位のタイプを意味します。 集中力Pは線形変位に対応し、モーメントは角度変位に対応し、均一に分布した荷重は荷重の領域における変位図の領域に対応します。

外力のグループの構造に対する静的な作用により、これらの力の作用は、力のグループ全体の作用によって引き起こされる対応する変位の値による各力の積の合計の半分に等しくなります。

したがって、たとえば、図に示すビームに作用する場合。 4.11、外力の集中力と集中モーメントの働き

式の最後の項の前のマイナス記号は、モーメントが適用されるビームの断面の回転角度の方向がこのモーメントの方向と反対であるために受け入れられます。

それらによって引き起こされる変位に対する外力の作用は、別の方法で表現することができます。すなわち、曲げモーメント、構造部材の断面で発生する縦方向および横方向の力によるものです。

軸に垂直な2つのセクションを持つ直線バー（図5.11）から、長さの極小要素（要素）を選択してみましょう。 ロッドは、そのような要素の無数で構成されています。 平面問題の一般的なケースでは、縦方向の力N、曲げモーメントM、および横方向の力が要素に適用されます。

努力N、M、Qは、バー全体に関連する内力です。 ただし、選択した要素は外力であるため、要素の対応する変形に対する努力N、M、Qを静的に増加させることによって実行される作業の合計として、作業Aを取得できます。これらの各作業が要素に与える影響を個別に検討してください。

縦方向の力Nのみの作用下にある要素を図1に示します。 6.11。 その左側のセクションが固定されていると見なされる場合、影響下にある右側のセクション 縦力 量だけ右に移動しますこの変位で、静的に増加する力Nが仕事をします

曲げモーメントMのみの作用下にある要素を図1に示します。 7.11。

左側のセクションが移動可能に固定されていない場合、要素の端のセクションの相互回転角度は、右側のセクションの回転角度に等しくなります[を参照してください。 式（16.7）と図。 33.7]：

この角変位で、静的に増加するモーメントMが機能します

せん断力Qのみの作用下にある要素を図1に示します。 8.11、a。 左側のセクションを固定したら（図8.11、b）、右側の接線力を適用します。その結果、横方向の力が発生します。

式（3.4）に基づいて、せん断応力が断面積F全体に均一に分布していると仮定します。つまり、横力Qの作用によって引き起こされる変位（図8.11、b）は、要素の端部セクションの相互のシフトです。 式から決定されます

そして、この変位に対する静的に増加する力Qの働き