Trova un quadrato conoscendo la sua area. Calcola l'area di un quadrato: per lato, diagonale, perimetro

Piazzaè un quadrilatero regolare in cui tutti gli angoli e i lati sono uguali tra loro.

Abbastanza spesso, questa cifra è considerata un caso speciale o. Le diagonali di un quadrato sono uguali tra loro e vengono utilizzate nella formula per l'area di un quadrato attraverso la diagonale.
Per calcolare l'area, considera la formula per l'area di un quadrato in termini di diagonali:

Cioè, l'area di un quadrato è uguale al quadrato della lunghezza della diagonale diviso per due. Dato che i lati della figura sono uguali, puoi calcolare la lunghezza della diagonale dalla formula dell'area di un triangolo rettangolo o usando il teorema di Pitagora.

Considera un esempio di calcolo dell'area di un quadrato attraverso la diagonale. Sia dato un quadrato con diagonale d = 3 cm, è necessario calcolarne l'area:

Usando questo esempio di calcolo dell'area di un quadrato attraverso le diagonali, abbiamo ottenuto il risultato 4.5 .

Area quadrata sul lato

Puoi anche trovare l'area di un quadrilatero regolare al suo fianco. La formula per l'area di un quadrato è molto semplice:

Poiché nell'esempio precedente di calcolo dell'area di un quadrato, abbiamo calcolato il valore in base al diametro, ora proviamo a trovare la lunghezza del lato:
Sostituisci il valore nell'espressione:
La lunghezza del lato del quadrato sarà di 2,1 cm.

È molto facile usare la formula per l'area di un quadrato inscritto in un cerchio.

Il diametro del cerchio circoscritto sarà uguale al diametro del quadrato. Poiché un quadrato è considerato un rombo regolare, puoi utilizzare la formula per calcolare l'area di un rombo. È uguale alla metà del prodotto delle sue diagonali. Le diagonali del quadrato sono uguali, quindi la formula sarà simile a questa:
Considera un esempio di calcolo dell'area di un quadrato inscritto in un cerchio.

Dato un quadrato inscritto in un cerchio. La diagonale del cerchio è d = 6 cm Trova l'area del quadrato.
Ricordiamo che la diagonale di un cerchio è uguale alla diagonale di un quadrato. Sostituiamo il valore nella formula per calcolare l'area di un quadrato attraverso le sue diagonali:

L'area del quadrato è 18

Area quadrata attraverso il perimetro

In alcuni problemi il perimetro del quadrato è dato dalle condizioni ed è richiesto il calcolo della sua area. La formula per l'area di un quadrato attraverso il perimetro deriva dal valore del perimetro. Perimetroè la somma delle lunghezze di tutti i lati della figura. Perché in un quadrato di 4 lati uguali, allora sarà uguale Da qui troviamo il lato della figura L'area del quadrato secondo la solita formula è considerata come segue:.
Considera un esempio di calcolo dell'area di un quadrato attraverso il perimetro.

Piazzaè un quadrilatero regolare in cui tutti i lati e gli angoli sono uguali tra loro.
L'area di un quadrato è uguale al quadrato del suo lato:
S = a2

Prova

Cominciamo con il caso in cui a = 1/n dove n è un numero intero.
Prendiamo un quadrato di lato 1 e dividiamolo in n 2 quadrati uguali come mostrato in Figura 1.

Poiché l'area del quadrato grande è 1, l'area di ogni quadrato piccolo è 1/n 2 . Il lato di ogni quadratino è 1/n, cioè uguale ad a. COSÌ,
S = 1/n 2 = (1/n) 2 = a 2 . (1)
Ora diamo il numero UN rappresenta una frazione decimale finale contenente n cifre decimali (in particolare, il numero a può essere un numero intero, e quindi n = 0). Allora il numero m = a · 10 n è un numero intero. Dividiamo questo quadrato di lato a in m 2 quadrati uguali come mostrato in Figura 2.

In questo caso, ogni lato di questo quadrato sarà diviso in m parti uguali, e, quindi, il lato di qualsiasi quadratino è uguale a

a / m \u003d a / (a ​​​​10 n) \u003d 1/10 n.

Secondo la formula (1) l'area del quadratino è (1/10 n) 2 . Quindi, l'area S del quadrato dato è uguale a

m 2 (1/10 n) 2 = (m/10 n) 2 = ((a 10 n)/10 n) 2 = a 2 .

Finalmente, lascia il numero UNè un decimale infinito. Considera il numero UN ottenuto da UN scartando tutte le cifre decimali dopo la virgola, a partire da (n + 1) th. Dal numero UN si differenzia da UN non più di 1/10n, Quello un n ≤ un ≤ un n + 1/10 n, Dove

un n 2 ≤ un 2 ≤ (un n + 1/10 n) 2 . (2)

È chiaro che la zona S di questo quadrato è compreso tra l'area di un quadrato di lato a n e l'area di un quadrato di lato a n + 1/10 n:

cioè tra un n 2 E (a n + 1/10 n) 2:

un n 2 ≤ S ≤ (un n + 1/10 n) 2 . (3)

Aumenteremo indefinitamente il numero N. Poi il numero 1/10n diventerà arbitrariamente piccolo, e quindi il numero (a n + 1/10 n) 2 differirà arbitrariamente poco dal numero a n 2 . Quindi, dalle disuguaglianze (2) E (3) ne consegue che il numero S arbitrariamente poco differisce dal numero a 2 . Pertanto, questi numeri sono uguali: S = a2, che doveva essere dimostrato.

L'area di un quadrato può essere trovata anche utilizzando le seguenti formule:

S = 4r 2 ,
S \u003d 2R 2,

L'area di un quadrato è la parte del piano delimitata dai lati di questo quadrato.

Un quadrato è un caso speciale di un rettangolo, quindi la sua area può essere trovata come il prodotto di uno dei suoi lati per l'altro, e poiché tutti i lati di un quadrato sono uguali, allora la sua area sarà uguale al quadrato della lunghezza della sua parte:

Inoltre, l'area di un quadrato è la metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale (d), ovvero:

Il diametro di un cerchio circoscritto a un quadrato coincide con la diagonale di questo quadrato, quindi la sua area si trova anche attraverso la lunghezza del diametro (D) del cerchio circoscritto:

Poiché il diametro di un cerchio è 2 volte maggiore del suo raggio, l'area di un quadrato si trova anche attraverso il raggio del cerchio circoscritto:

S = (2 * R)² / 2 = (4 * R²) / 2 = 2 * R².

Un quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un quadrilatero in cui tutti i lati sono uguali. L'area di un quadrato può essere trovata in tre modi:

• lungo il lato della piazza.
• attraverso il perimetro della piazza.
• attraverso la diagonale del quadrato.

Considera ciascuno dei metodi per trovare l'area di un quadrato.

Calcolo dell'area di un quadrato in termini di lato

Sia a il lato del quadrato. Poiché tutti i lati di un quadrato sono uguali, ogni lato del quadrato sarà uguale a a. In questo caso, l'area quadrata S può essere calcolata con la formula:
S = un * un = un 2 . Ad esempio, se il lato di un quadrato è 5, la sua area sarà:
S = 5 2 = 25.

Calcolo dell'area di un quadrato in termini di perimetro

Sia P il perimetro del quadrato. Il perimetro è la somma di tutti i lati, quindi P = a + a + a + a = 4 * a. Poiché S \u003d a 2 (secondo la formula scritta in precedenza), allora a può essere espresso dal perimetro a:
a = P / 4. Quindi S = P 2 / 16. Ad esempio, è noto che il perimetro di un quadrato è 20, quindi puoi trovare la sua area: S = 20 2 / 16 = 400 / 16 = 25.

Calcolare l'area di un quadrato in termini di diagonale

La diagonale di un quadrato lo divide in due triangoli rettangoli uguali. Considera uno dei triangoli rettangoli. Le sue gambe sono uguali a a e a (due lati del quadrato) e l'ipotenusa è uguale alla diagonale del quadrato (d). Utilizzando il teorema di Pitagora, calcoliamo l'ipotenusa:
d 2 \u003d a 2 + a 2;
d 2 \u003d 2 * a 2;
d = un * √2.
In questo caso l'area del quadrato sarà scritta come: S = d 2 /2. Ad esempio, data la diagonale di un quadrato: d = √18, allora l'area del quadrato sarà: S = (√18) 2/2 = 18/2 = 9.
Tutte queste formule sono utili per calcolare l'area di un quadrato.

Un quadrato è una figura geometrica che ha quattro lati della stessa lunghezza, che si trovano ad un angolo di 90 gradi l'uno rispetto all'altro. In altre parole, è una specie di rettangolo regolare. In alcuni casi, il quadrato è chiamato una delle varianti del rombo.

La diagonale di un quadrato è un segmento che interseca il punto centrale del quadrato e collega i suoi angoli opposti. Su un quadrato sono poste 2 diagonali della stessa lunghezza.

Calcolare l'area di un quadrato data la lunghezza della diagonale

• La lunghezza della diagonale di un quadrato è coinvolta nella formula per calcolare l'area di un quadrato. Indichiamo la lunghezza della diagonale d e l'area del quadrato S, quindi S = d^2/2.
• La lunghezza della diagonale di un quadrato può essere calcolata usando il teorema di Pitagora. Dato che la diagonale di un quadrato è l'ipotenusa di un triangolo isoscele rettangolo, abbiamo la seguente formula per calcolare la lunghezza dell'ipotenusa: a^2 + a^2 = d^2, dove a è la lunghezza di uno lato di un triangolo o quadrato isoscele. Allora d = a√2.
• Ad esempio, se prendiamo la lunghezza della diagonale di un quadrato pari a 4 cm, la sua area sarà uguale a: S = 4 ^ 2/2 = 8 metri quadrati. cm.
• Se il quadrato è inscritto in un cerchio e si conosce la lunghezza del diametro del cerchio, vale la pena chiarire che la lunghezza del diametro del cerchio e la lunghezza della diagonale del quadrato sono uguali tra loro. Pertanto, in questo caso, andiamo nuovamente al calcolo dell'area quadrata attraverso la sua diagonale.

Calcolare l'area di un quadrato data la lunghezza del lato del quadrato

• Segue dal teorema di Pitagora discusso sopra che sostituendo l'espressione d = a√2 nella formula per calcolare l'area di un quadrato S = d^2/2, arriviamo alla possibilità di calcolare l'area di un quadrato per la lunghezza del suo lato: S = (a√2)^2/ 2, quindi S = a^2.
• Calcoliamo la lunghezza del lato del quadrato, in base all'area calcolata in precedenza, pari a cm 16. A = √S = √8 = 2,83 cm.

Calcolo dell'area di un quadrato, tenendo conto della lunghezza del perimetro del quadrato

• Se conosciamo la lunghezza del perimetro del quadrato e dobbiamo calcolare l'area della figura, allora dobbiamo chiarire qual è il perimetro del quadrato. Il perimetro è il valore ottenuto sommando tutte le lunghezze dei lati di una figura geometrica.
• Indichiamo il perimetro P, quindi P = 4a. Allora la lunghezza del lato del quadrato sarà uguale a a = P/4. Sostituiamo questa espressione nella formula per calcolare l'area quadrata S = a^2 e otteniamo S = (P/4)^2, cioè S = P^2/16.
• Ad esempio, se il perimetro di un quadrato è 20, allora S = 20^2/16 = 25 metri quadrati. cm.

L'area quadrata è un concetto di base, grazie al quale è possibile calcolare facilmente il consumo di materiali per le riparazioni, calcolare le dimensioni corrette dei mobili quando si misura una stanza, capire quanto fertilizzante e semi sono necessari per piantare colture importanti in un campo enorme.

Le formule dell'area quadrata fornite sono utilizzate da costruttori, produttori di mobili e rappresentanti dell'agricoltura.

Cos'è un quadrato?

Un quadrato è un rettangolo regolare con i lati uguali. Ogni angolo della figura è di 90⁰. Un quadrato si riferisce a semplici forme geometriche situate su un piano. Puoi trovare l'area di un quadrato in diversi modi: lungo la diagonale, lungo il lato, lungo il perimetro.

Formule di area, esempi di calcolo

L'area di una figura semplice è un valore positivo che ha le seguenti proprietà:

• Figure geometriche uguali hanno aree uguali.
• Se una figura semplice è divisa in più parti, la sua area totale sarà sempre uguale alla somma delle aree di tutti gli elementi.
• L'area di un quadrato è sempre uguale a uno se il suo lato corrisponde all'unità di misura.

Di fianco

In geometria, l'area è sempre indicata come S, e le minuscole lettere latine (ad esempio, a e b) sono i lati di una figura semplice.

La base per calcolare l'area di qualsiasi rettangolo lungo il lato è una semplice formula: S=ab, ma nel caso di un quadrato, la formula viene convertita in S = a² perché i due lati hanno la stessa lunghezza.

Ciò implica che l'area di un quadrato è uguale al quadrato del suo lato.

Esempio 1: Dato un quadrato di lato 5 cm, quanto misura l'area?
Soluzione: S=5²=25cm

Esempio 2: Il lato della figura è di 3 cm Trova l'area.
Soluzione: S=3²=9cm

Diagonalmente

Un'altra opzione per trovare l'area è fare calcoli relativi alla diagonale della figura (d). È vero, per questo devi prima trovare la lunghezza della diagonale stessa. È noto che la diagonale divide il quadrato in due triangoli isosceli. Ciò significa che i calcoli possono essere eseguiti secondo il noto teorema di Pitagora, dove i lati del quadrato fungeranno da gambe e la diagonale stessa sarà l'ipotenusa.

Il calcolo dell'area lungo la diagonale viene effettuato secondo il principio: l'area del quadrato è uguale al quadrato della lunghezza della diagonale (calcolata dal teorema di Pitagora) e divisa per due.

Esempio: Dato un quadrato la cui diagonale misura 10 cm, come si calcola l'area?
Soluzione: Secondo la formula sopra, i calcoli vengono effettuati come segue: S = 10² / 2 = 100/2 = 50 cm²

intorno al perimetro

Il perimetro è la somma di tutte le lunghezze dei lati di un quadrato. Il perimetro è indicato dalla lettera latina P. Tenendo conto della definizione di quadrato, otteniamo una formula universale per calcolare il perimetro di un quadrilatero equilatero: P = 4a. Cioè, il perimetro di un quadrato è quattro volte la lunghezza del lato.

Il calcolo dell'area di un quadrato rispetto alla somma di tutti i lati è necessario se nel problema è specificato solo il valore del perimetro. Conoscendo la formula per calcolare il perimetro, è molto facile trovare l'area.

Se P = 4a, Quello a = P/4. Successivamente, è già necessario utilizzare la formula per calcolare l'area a fianco.

Esempio: Sia dato un quadrato con un perimetro di 100 mm. Qual è la zona?
Soluzione: Il lato del quadrato sarà 100/4 = 25 mm. Bene, l'area del quadrato è ulteriormente calcolata dalla formula, dove l'area del quadrato è uguale al quadrato dei lati. Cioè, S = 25² = 625 mm²

Area di un quadrato inscritto in un cerchio

Questa opzione viene utilizzata come conseguenza della formula ottenuta in precedenza (calcolo diagonale). Secondo i dati matematici, il diametro del cerchio sarà esattamente uguale alla diagonale del quadrato. Pertanto, per calcolare rapidamente l'area di un quadrilatero equilatero, sarà sufficiente conoscere il diametro del cerchio. E poi viene utilizzata la formula già nota: S = d²/2

Compito tipico: ad esempio, dato un cerchio con una diagonale di 8 cm e in esso è inscritto un quadrato. Qual è l'area del quadrilatero?
Soluzione corretta: S = 8²/2 = 64/2 = 32 cm²

Video lezione