È noto che la funzione y \ u003d f (x) Può essere specificata implicitamente utilizzando l'equazione che collega le variabili x e y:

F (x, y)=0.

Formuliamo le condizioni in base alle quali l'equazione F (x, y) \ u003d 0 definisce una delle variabili in funzione dell'altra. Quanto segue è vero

Teorema (implicitná implicitná funkcia) Sia la funzione F (x, y)=0 soddisfa le seguenti podmienky:

1) c'è un punto P˳ (x˳, y˳) , v cui F (x˳, y˳) \ u003d 0

2) F'y (x˳, y˳) ≠ 0

3) funzioni F'x (x, y)e F'y (x, y) continuo in qualche quartiere del punto

P 0 (X 0 ,r 0).

Allora c'è un'unica funzione y \ u003d f (x) definita su un intervallo contenente un punto e che soddisfa l'equazione F (x, y) \ u003d 0 na ogni x da questo intervallo story che f (x 0) \ u003d y0

Se y ha una funzione implicita da X, cioè è determinato dall'equazione F ( X, a) \ u003d 0, quindi, supponendo che a c'è una funzione da X, otteniamo l'identità F (X, a(X)) \ u003d 0, che può essere ohľaduplný prísť una funzione costante. Differenziando questa funzione costante, otteniamo:

Se in questo rapporto, puoi trovare.

Rozdiel medzi novými hodnoteniami (1), ostatné:

La relazione (2) può essere ohľaduplný príde un'equazione per determinare la derivata seconda. Differenziando ancora una volta la relazione (2), otteniamo un'equazione per determinare la derivata terza, ecc.

Derivata direzionale. Vettore di direzione per il caso di due e tre variabili (coseni di direzione). Incremento della funzione lungo on a data direzion. Definizione della derivata direzionale, sua espressione attraverso derivate parziali. Gradient di funzione. Relatívna poloha gradientu a línia živého v rámci jedného bodu pre všetky funkcie.

Odvody z'I v smere I di una funzione di due variabili z \ u003d f (x; y) è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in questa direzione e il valore di postamento ∆I quando tende a'ultimo 0: z'i \ u003d lim∆iz / ∆I

La derivata z 'I caratterizza la velocità di variazione della funzione nella direzione i.

Se la funzione z \ u003d f (x; y) ha derivate parziali continue nel punto M (x; y), allora a questo punto c'è una derivata in qualsiasi direzione in uscita dal punto M (x; y), che è calcolata dalla vzorec z'i \ u003d z'xˑcosα + z "yˑcosβ, holubica cosα, cosβ sono la direzione verso4 il seno del vettore.

Gradient della funzione z \ u003d f (x, y) è un vettore súradnice f'x, f'y. Označenie z \ u003d (f'x, f'y) o.

La derivata direzionale è uguale al prodotto scalare del gradiente e del vettore unitario che definisce la direzione I.

Il vettore z in ogni punto è diretto lungo la normale alla linea di livello che passa per questo punto nella direzione della funzione crescente.

Le derivate parziali f'x e f'y sono derivate della funzione z \ u003d f (x, y) lungo due direzioni particolari degli assi Ox e Oy.

Sia z \ u003d f (x, y) una funzione differentenziabile in qualche dominio D, M (x, y). Sia I una direzione (vettore con origine nel punto M) e \ u003d (cosα; cosβ).

Čo sa týka údajov podľa smeru I bod M (x, y) ako bod M1 (x + ∆x; y + ∆y), funkcia z rýže a prírastok ∆iz \ u003d f (x + ∆x; y + ∆y) -f (x; y) chiamato l'incremento della funzione z nella direzione údaje I.

Se MM1 \ u003d ∆I allora ∆x \ u003d ∆icosα, ∆y \ u003d ∆icosβ, quindi, ∆iz \ u003d f (x + ∆icosα; y + ∆icosβ) -f.

Una funzione Z \ u003d f (x; y) si kocky implicitne sa č údaje dall'equazione F (x, y, z) \ u003d 0 bez rizika a Z. Cerchiamo di trovare le derivate parziali della funzione Z implicitamente data. Per tarifa ciò, sostituendo la funzione f (x; y) nell'equazione invece di Z, otteniamo l'identità F (x, y, f (x, y)) \ u003d 0. Anche le derivate parziali rispetto and xey di una funzione identicamente uguale a zero sono uguali a zero.

F (x, y, f (x, y)) \ u003d
\ u003d 0 (y è ohľaduplný)

F (x, y, f (x, y)) \ u003d
\ u003d 0 (x è ohľaduplný)

Da holubica
e

Esempio: Trova le derivate parziali della funzione Z data dall'equazione
.

Qui F (x, y, z) \ u003d
;
;
;
... Con le formula sopra riportate, abbiamo:

e

1. Derivata direzionale

Sia data una funzione di due variabili Z \ u003d f (x; y) in qualche intorno di m. M (x, y). Berte do úvahy smer, ktorý určuje jednotný vektor
holubica
(vedi obr.).

Su una linea retta che passa in questa direzione za m.M, prendi m.M 1 (
) in modo che la lunghezza
il segmento MM 1 è
... L'incremento della funzione f (M) è determinato dalla relazione, holubica
sono legati da relazioni. Obmedzená správa a
sarà chiamata la derivata della funzione
al punto
v direzione ed essere designato .

=

Se la funzione Z è differentenziabile nel punto
, quindi il suo incremento a questo punto tenendo conto delle relazioni per
può essere scritto nella seguente forma.

dividendo entrambe le parti in

e passando al limite a
otteniamo una vzorec pre derivata della funzione Z \ u003d f (x; y) nella direzione:

1. Pendenza

Zvážte funzione di tre variabili
differentenziabili a un certo punto
.

Sklon tejto funkcie
nel punto M è detto vettore le cui súradnica sono uguali rispettivamente alle derivate parziali
questo punto. Podľa označenia sfumatura, usa il simbolo
.
=
.

Grade indica la direzione della crescita più rapida della funzione in un date punto.

Poiché il vettore unitario ha súradnice (
), quindi la derivata direzionale per il caso di una funzione di tre variabili viene scritta nella forma, ad es. ha la formula del prodotto punto vetoriale e
... Riscriviamo l'ultima formula nasleduje:

holubica è l'angolo tra il vettore e
... Nella misura in cui
, ne consegue che la derivata direzionale della funzione predpokladať un valore massimo a \ u003d 0, cioè quando la direzione dei vettori e
incontro. holubica
Cioè, infatti, il gradiente di una funzione caratterizza la direzione a l'ampiezza della velocità massima di aumento di questa funzione in un punto.

1. Estremo di una funzione di due variabili

I concetti di max, min, extremum di a funzione di due variabili sono simili ai concetti corrispondenti di a funzione di una variabile. Si definisca la funzione Z \ u003d f (x; y) v alcuni domini D ed m.
appartiene a questa zona. Punto M
si chiama punto max della funzione Z \ u003d f (x; y) sa esiste un intorno δ del punto
tale che per ogni punto da questo quartiere la disuguaglianza
... Il punto min è definito in modo simile, cambierà solo il segno della disuguaglianza
... Il valore della funzione nel punto max (min) è chiamato massimo (minimo). Il massimo e il minimo di una funzione sono chiamati estremi.

1. Podmienky, ktoré sú potrebné a dostatočné na to, aby ste mohli očakávať

Teoréma:(Condizioni necessarie per un estremo). Pozrite sa na M
la funzione derivabile Z \ u003d f (x; y) ha un estremo, quindi le sue derivate parziali a questo punto sono uguali a zero:
,
.

Prova: fissando una delle variabili x o y, trasformiamo Z \ u003d f (x; y) in una funzione di una variabile, per i cui estremi devono essere soddisfatte le condizioni di cui sopra. Geometricamente uguale
e
significa che nel punto estremo della funzione Z \ u003d f (x; y), il piano tangente alla superficie che rappresenta la funzione f (x, y) \ u003d Z è paralelné al piano OXY, poiché l'equazione del piano tangente è \ u003d Z 0. Il punto in cui le derivate parziali del primo ordine della funzione Z \ u003d f (x; y) sono uguali a zero, cioè
,
, sono chiamati il ​​​​\ u200b \ u200bpunto stazionario della funzione. La funzione può avere un estremo nei punti in cui almeno una delle derivate parziali non esiste. Ad esempio Z \ u003d | -
| ha max al punto O (0,0), ma non ha derivati ​​​​\ u200b \ u200ba questo punto.

Vengono chiamati punti stazionari e punti in cui almeno una derivata parziale non esiste punti kritiki. Nei punti criti, la funzione può o non può avere un estremo. L'uguaglianza a zero delle derivate parziali è una condizione necessaria ma non enoughe per l'esistenza di un estremo. Ad esempio, na Z \ u003d xy, il bod O (0,0) è kritické. Tuttavia, la funzione Z \ u003d xy non ha un estremo in essa. (Poiché nel III e III trimestre Z \ u003e 0 e nel II e IV - Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (Podmienky postačujúce pre každý extrém). Lasciate in un punto fermo
e in alcuni dintorni la funzione f (x; y) ha derivát parziali pokračovať fino al secondo ordine compreso. Calcola nel punto
senso
,
e
... Indichiamo

Se
, l'estremità nel punto
può o non può essere. Sono necessarie ulteriori ricerche.

Indubbiamente, nella nostra mente l'immagine di una funzione è associata all'uguaglianza e alla sua linea corrispondente: il grafico della funzione. Ad esempio, - dipendenza funzionale, il cui grafico è una parabola quadratica con apice all'origine e rami diretti verso l'alto; è una funzione seno nota per le sue onde.

In questi esempi, il lato sinistro dell'uguaglianza è y e il lato destro è un'espressione che dipende dall'argomento x. V altre parole, abbiamo risolto un'equazione za r. Viene chiamata la rappresentazione della dipendenza funzionale sotto forma di tale espressione assegnazione esplicita di funzioni(o funzione esplicitamente). E questo tipo di assegnazione di funzioni ci è più familiare. Nella maggior parte degli esempi e delle attività, ci vengono presentate funzioni esplicite. Abbiamo già parlato in dettaglio della differentenziazione delle funzioni di una variabile specificata in una forma esplicita.

Tuttavia, la funzione implica una corrispondenza tra l'insieme di valori della quantità x e l'insieme di valori di y, e questa corrispondenza NON è necessariamente stability da alcuna formula o espressione analitica. Cioè, ci sono molti modi per definire una funzione oltre al solito.

In questo articolo vedremo funzioni e metodi impliciti per trovare le loro derivate... Esempi di funzioni implicite includono o.

Príďte si notato, una funzione implicita è definita da un rapporto. Ma non tutte queste relazioni tra x e y definiscono una funzione. Ad esempio, nessuna coppia di numeri reali xey soddisfa l'uguaglianza, quindi questa relazione non definisce una funzione implicita.

Può determinare implicitamente la legge di corrispondenza tra le quantità xey, e ogni valore dell'argomento x può corrispondere a uno (in questo caso, abbiamo una funzione a valore singolo) oa diversi (inquesto à la caso) funzione . Ad esempio, x \ u003d 1 zodpovedá a due valori reali y \ u003d 2 e y \ u003d -2 di una funzione implicita.

È tutt'altro che semper possibile portare una funzione implicita in una forma esplicita, altrimenti non sarebbe necessario differentenziare le funzioni implicite stesse. Per esempio, - non convertito in forma esplicita, ma - convertito.

Ora al punto.

Na základe odvodených implicitných údajov z funzione je potrebné rozlišovať medzi jednotlivými líniami a všetkými možnými argumentmi, pričom sa berie ohľad na všetky funkcie, ktoré sú potrebné.

Diferenciácia obsahu obsahu a (x) rôzne efekty využívajúce rôzne regulačné orgány a regulácie na základe odvodených prvkov z komplexnej funkcie. Analizziamo subito alcuni esempi in dettaglio in modo che non ci siano ulteriori domande.

Esempio.

Diferencia le espressioni v x, predpokladá sa y vo funzione di x.

Rozhodnutie.

Poď y è una funzione di x, quindi è una funzione complessa. Può essere convenzionalmente rappresentato come f (g (x)), holubica f è la funzione di cubatura e g (x) \ u003d y. Quindi, druhý vzorec podľa odvodeného komplexu funzione, abbiamo: .

Čo sa týka druhej espresie, spostiamo la costante fuori dal sagno della derivata a agiamo come nel caso precedente (qui f è la funzione seno, g (x) \ u003d y):

Podľa vyššie uvedeného receptu použite vzorec na jeden derivát:

Applicando le regole in modo coerente, differentenziamo l'ultima espressione:

Ora possiamo procedere alla ricerca della derivata di una funzione data implicitamente, per questo abbiamo tutta la conoscenza.

Esempio.

Trova la derivata di una funzione implicita.

Rozhodnutie.

La derivata di una funzione implicita è semper rappresentata come un'espressione contenente x e y:. Po príchode je questo risultato, rozdiel medzi entrambi a lati dell'uguaglianza:

Risolviamo l'equazione risultante podľa derivátov:

Risposta:

.

KOMENTÁR.

Podľa konsolidácie materiálov je možné použiť aj iné.

Implicitné odvodenie z funzione.
Odvodené parametre funkčných údajov

In questo articolo, prenderemo in reflectazione due compiti più tipici che si trovano spesso nei documenti di prova in matematica superiore. Na základe padroneggiare con successo il materiale, è nutne essere in grado di trovare derivati ​​​​\ u200b \ u200balmeno a livelo intermedio. Puoi imparare a trovare i derivati ​​​​\ u200b \ u200bquasi da nula in due lezioni di base e Derivata di una funzione complessa... Tutto è in ordine con le capacità di differentenziazione, allora andiamo.

Derivata della funzione implicita

O, in breve, la derivata di una funzione implicita. Cos'è una funzione implicita? Ricordiamo prima la definizione stessa of a funzione di a variabile:

Funzione singola variabileÈ una regola in base alla quale uno e un solo valore di funzione corrisponde a ciascun valore della variabile indipendente.

La variabile viene chiamata variabile indipendente o diskusia.
La variabile viene chiamata variabilná dipendente o funzione .

Finora, abbiamo esaminato le funzioni definitívne v esplicito modulo. Cosa significa? Organizácia debriefingu využíva špecifických esempi.

Zvážte funzione

Vediamo che a sinistra abbiamo un "gioco" solitario, e a destra - sólo "x"... Cioè, la funzione espressamente espresso in termini di variabile indipendente.

Zvážte ďalšie funzione:

Qui è dove le variabili sono "miste". inoltre nemožné v alcun modo esprimere "gioco" solo atraverso "x". Kvalitné sono questi metódy? Trasferimento di termini da una parte all'altra con cambio di segno, fuori parentesi, lancio di moltiplicatori secondo la regola delle proporzioni, ecc. Riscrivi l'uguaglianza e cerca di esprimere il "gioco" in forma esplicita:. Puoi girare e ribaltare l'equazione per ore, ma non ci riuscirai.

Permettetemi di presentarvi: - esempio funzione implicita.

Nel corso dell'analisi matematica, è stato dimostrato che la funzione implicita esistere(ma non semper), ha un grafico (proprio come una funzione "normale"). La funzione implicita ha lo stesso esistere derivata prima, derivata seconda, atď. Come si suol dire, tutti a diritti delle minoranze sessuali sono rispettati.

E in questa lezione impareremo come trovare la derivata di una funzione implicita. Non è così difficile! Tutte le regole di differentenziazione, la tabella delle derivate delle funzioni elementari rimangono in vigore. La differentenza è in un momento peculiare, che uvažuje o adesso.

Sì, e ti dirò la buona notizia: i compiti discussioni di seguito vengono eseguiti secondo un algoritmo piuttosto rigido e chiaro Senza una pietra davanti a tracce.

Esempio 1

1) Nella prima fase, diamo gli ultimi ritocchi a entrambe le parti:

2) Usiamo le regole di linearità della derivata (le prime due regole della lezione Come trovo la derivata? Esempi di soluzioni):

3) Diferenciazione diretta.
Príďte rôzne a perfettamente comprensibile. Cosa fare dove ci sono "giochi" sotto a colpi?

- sólo škandalóza, la derivata di una funzione è uguale alla sua derivata: .

Príďte sa rozlíšiť
Qui abbiamo funzione complessa... Perché? Sembra che sotto il seno ci sia solo una lettera "gioco". Ma il fatto è che c'è solo una lettera "gioco" - SE STESSO È UNA FUNZIONE(vedi definizione all'inizio della lezione). Quindi, to znamená, že ide o starú funzione, interna funzione. Usiamo la regola di differentenziazione di a funzione complessa :

Il prodotto a different differento la regoly Běžné :

Nota che - è anche una funzione complessa, qualsiasi "gioco con campane e fischietti" è una funzione complessa:

Il design della soluzione stessa dovrebbe essere simile a questo:


Pozrite sa na rodičov, le apriamo:

4) Sul lato sinistro, raccogliamo i termini in cui c'è un "gioco" con un numero primo. Sul lato destro - trasferisci tutto il resto:

5) A sinistra, estraiamo la derivata dalle parentesi:

6) Druhé regola delle proporzioni, rilasciamo queste parentesi nel denominatore del lato destro:

La derivata viene trovata. Fatto.

È interessante notare che puoi riscrivere implicitamente qualsiasi funzione. Ad esempio, la funzione può essere riscritto in questo modo: ... Je rozdielny druhý algoritmus vážený. V effetti, le frasi "funzione implicita" a "funzione implicita" sa líšia v una sfumatura sémantika. La frase "funzione definita implicitamente" è più generale e corretta, - questa funzione è impostata implicitamente, ma qui puoi esprimere il "gioco" e rappresentare la funzione in una forma esplicita. Podmienkou pre „implicitnú funzione“ je implicitná funzia „klasická“ funkcia, ktorá nie je pripravená na espresso.

Va anche notato che l'"equazione implicita" può specificare implicitamente due o anche più funzioni contemporaneamente, ad esempio, l'equazione di un cerchio specifica implicitamente funzioni che definiscono semicerchi. Ma, nell'ambito di questo articolo, non faremo una distinzione speciale tra i termini e sfumature, erano solo informationazioni per lo sviluppo generale.

Druhé riešenie

Pozor! Il secondo metodo può essere trovato solo sei in grado di trovare con sicurezza derivati ​​​​\ u200b \ u200bparziali... Principianti in calcolo e manichini, za láskavosť non leggere e saltare questo paragrafo, altrimenti la testa sarà un completo katastrofa.

Troviamo la derivata della funzione implicita nel secondo modo.

Trasferiamo tutti a termini sul lato sinistro:

Zvažuje sa funzione di due variabili:

Quindi il nostro derivato può essere trovato dalla vzorec
Troviamo le derivate parziali:

Così:

Druhé riešenie pre permette di controllare. Ma non è desiderabile formularli con una pulita del compito, poiché le derivate parziali vengono padroneggiate in seguito e uno studente che studia l'argomento "Derivata di una funzione di una variabile" sembra non conoscere le derivate parziali.

Diamo un'occhiata ad alcuni altri esempi.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione implicita

Diamo gli ultimi ritocchi a entrambe le parti:

Usiamo le regole di linearita:

Trova deriváty:

Espandi tutte le parentesi:

Trasferiamo tutti a termini con sul lato sinistro, il resto - sul lato destro:

Risposta finále:

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione implicita

Riešenie je kompletné a progetto di esempio alla fine de tutorial.

Non è raro che le frazioni compaiano dopo la differentenziazione. V questi casi, devi sbarazzarti delle frazioni. Diamo un'occhiata ad altri due esempi.

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione implicita

Racchiudiamo entrambe le parti con tratti e usiamo la regola di linearità:

Rozlišujú sa funkcie regulácie na rôzne funkcie e la regola della differentenziazione del privato :

Espandi le parentesi:

Ora dobbiamo sbarazzarci della frazione. Questo può essere fatto in seguito, ma è più razionale farlo subito. Il denominatore della frazione è. Moltiplicare sul. Podrobne, sarà simile a questo:

2 až 3 rozdiely v porovnaní s rozdielom. Se avessimo una frazione in più, ad esempio, l'operazione dovrebbe essere ripetuta: moltiplicare ogni termine di ogni parte sul

A sinistra, mettiamo fuori parentesi:

Risposta finále:

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione implicita

Questo è un esempio per una soluzione fai-da-te. L'unica cosa in esso, prima di sbarazzarsi della frazione, dovrà prima sbarazzarsi della struttura a tre piani della frazione stessa. Kompletné riešenie a riešenie všetkých jemných návodov.

Odvodené parametre funkčných údajov

Non sforzarti, in questo paragrafo tutto è anche abbastanza semplice. Zadajte všeobecný vzorec pre jedno funkčné definovanie parametrov, pre vykresľovanie je jasné, okamžite sa zadáva špecifikácia. In forma parametrica, la funzione è data da due equazioni:. Spesso le equazioni vengono scritte non sotto parentesi graffe, ma in sequenza:,.

Variabile è chiamata parametro e può predpokladajme valori da "meno infinito" a "più infinito". Zvážte, ad esempio, un valore e sostituiscilo in entrambe le equazioni: ... O umanamente: "se x è uguale a quattro, allora y è uguale a uno". Un punto può essere contrassegnato sul piano delle coordinate e questo punto corrisponderà al valore del parametro. Všetky pravidlá, ktoré sú potrebné na dosiahnutie tohto cieľa, sú hodnotené podľa parametrov „te“. Príďte na „normálne“ fungovanie, podľa indickej Ameriky s definitívnym parametrom funzione, vengono rispettati anche tutti a diritti: puoi tracciare un graphico, trovare derivate, ecc. Návrh, ktorý je potrebný na sledovanie grafu funkčných parametrov údajov, ktoré sa používajú v mnohých programoch.

Nei casi più semplici è possibile rappresentare esplicitamente la funzione. Predpoveď a parametre pre prvú ekvazione: - e sostituiscilo nella seconda equazione: ... Il risultato è una normale funzione cubica.

Nei casi più "gravi", questo trucco non funziona. Nie je dôležité, že vzorec obsahuje vzorec pre odvodené parametre:

Trova la derivata od "gioco rispetto alla variabile te":

Tutte le regole di differenzione e la tabella dei derivati ​​​​\ u200b \ u200b valgono ovviamente anche per la lettera, Quindi non c'è novità nel processo di ricerca di derivati... Sostituisci mentalmente tutte le x nella tabella con la lettera te.

Trva la derivata di "x rispetto alla variabile te":

Ora resta solo da sostituire and derivati ​​​​\ u200b \ u200btrovati nella nostra vzorec:

Fatto. La derivata, come la funzione stessa, dipende anche dal parametro.

Pre množstvo prísnych označení, podľa vzorca, invece di scrivere, potrebné príklady pre čítanie senzácie, poiché questo è il "solito" derivato "di x". Ma in letteratura c'è semper una variante, quindi non mi discosterò dallo štandard.

Esempio 6

Usiamo la vzorec

In questo caso:

Così:

Una caratteristica per trovare la derivata di una funzione parametrica è il fatto che ad ogni passaggio è utile semplificare il più possibile il risultato... Quindi, nell'esempio reflectato, quando ho trovato, ho espanso le parentesi sotto la radice (sebbene non potessi farlo). È molto probabile che, quando sostituite nella formula, molte cose si ridurranno bene. Sebbene, ovviamente, ci siano esempi con risposte goffe.

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione definita parametricamente

Questo è un esempio per una soluzione fai-da-te.

L'articolo I problemi comuni più semplici con un derivato abbiamo reflectato esempi in cui era necessario trovare la derivata seconda di una funzione. Per una funzione definita parametricamente, puoi anche trovare la derivata seconda, e si trova dalla seguente formula:. È abbastanza ovvio che per trovare la derivata seconda, bisogna prima trovare la derivata prima.

Esempio 8

Trova la prima e la seconda derivata di una funzione data parametricamente

Innanzitutto, troviamo la prima derivata.
Usiamo la vzorec

In questo caso:

Spesso, quando a rissolvono problemi pratici (ad esempio, nella geodesia superiore alebo nella fotogrammetria analitica), compaiono funzioni complesse di different variabili, cioè argomenti x, y, z una funzione f (x, y, z) ) sono esse stesse funzioni di nuove variabili U, V, W ).

Questo, ad esempio, accade quando si passa da un sistema di coordinate fisse Oxyz v mobilnom systéme O 0 UVW e ritorno. È importante conoscere tutte le derivate parziali rispetto alle variabili "fisse" - "vecchie" e "mobili" - "nuove", poiché queste derivate parziali caratterizzano solitamente la posizione di un oggetto in questi sistemi di uncorridicore fotografie aeree ad un oggetto reale. ... V questi casi, si applicano le seguenti vzorec:

Cioè, viene data una funzione complessa T tre "nuove" variabili U, V, W tramit tre "vecchie" variabili x, y, z, poi:

Commento. Sono possibili variazioni nel numero di variabili. Ad esempio: ak

Predovšetkým napr z \ u003d f (xy), y \ u003d y (x) , quindi otteniamo la cosiddetta vzorec "derivata completa":

Vzorec "derivata completa" v tomto prípade:

predpokladaný tvar:

Sono possibili anche altre variazioni delle formula (1,27) - (1,32).

Poznámka: vzorec "úplný derivát" sa používa v rámci daňovej sústavy, časti "Hydrodynamika" sa riadia systémami základných ekvazioni motorových tekutín.

Esempio 1.10. Dáto:

Secondo (1,31):

§ 7 Odvodené parziali di una funzione definita implicitamente di più variabili

Come sapete, una funzione definita implicitamente di una variabile è definita come segue: la funzione della variabile indipendente X si kocky implicitne sa è dato da un'equazione non risolta rispetto a r :

Esempio 1.11.

L'equazione

imposta implicitamente due funzioni:

E l'equazione

non definisce alcuna funzione.

Teoréma 1.2 (implicitná formulácia).

Lascia che la funzione z \ u003d f (x, y) e le sue derivate parziali f " X e f " r definito e continuo in qualche quartiere U M0 punti M 0 (X 0 r 0 ) ... Oltretutto, f (x 0 , r 0 )=0 e f "(x 0 , r 0 )≠0 , quindi l'equazione (1,33) definisce in un intorno U M0 funzione implicita y \ u003d y (x) continuo e differentenziabile in un certo intervallo D centrato nel punto X 0 e y (x 0 ) \ u003d r 0 .

Nessuna prova.

Dal Teorema 1.2 pokračuje v tomto intervale D :

cioè, c'è un'identità in

dove la derivata "totale" si trova secondo (1.31)

Cioè, (1.35) fornisce una formula per trovare la derivata di una funzione definita implicitamente di una variabile X .

La funzione implicita di due o più variabili è definita in modo simile.

Ad esempio, se in qualche zona V spazio Oxyz l'equazione è soddisfatta:

quindi in alcune condizioni sulla funzione F definisce implicitamente una funzione

Inoltre, podľa analógie s (1.35), le sue derivate parziali si trovano come takto:

Esempio 1.12. Supponendo che l'equazione

imposta implicitamente una funzione

trovare z " X , z " r .

quindi, secondo (1,37), otteniamo la risposta.

§ 8 Derivate parziali di secondo ordine e superiori

Definizione 1.9 Derivate parziali del secondo ordine di una funzione z \ u003d z (x, y) sono definitívne príde:

C'erano quattro di loro. Inoltre, in alcune condizioni sulle funzioni z (x, y) l'uguaglianza vale:

Commento. Le derivate parziali del secondo ordine possono essere označuje come takto:

Definizione 1.10 Derivate parziali del terzo ordine - otto (2 3).